微积分学示例

$f (x) = x^{3} - x - 1$ ; between $1$ and $2$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 1 + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $3 x^{2} - 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 1$ 。

$3 x^{2} - 1$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x^{2} = 1$

解题步骤 1.2.3

将 $3 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $3 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.5.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.5.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.5.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.5.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 1.2.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.2.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.5.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 1.2.5.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} - x - 1$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换 $x$ 。

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.1.2.1

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.2.3

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.2.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.2.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.2.4

从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3}}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

约去 $3$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.4.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.4.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

解题步骤 1.4.1.2.2

要将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

解题步骤 1.4.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

解题步骤 1.4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

解题步骤 1.4.1.2.5

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

解题步骤 1.4.1.2.5.1.2

从 $\sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9} - 1$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换 $x$ 。

${(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.2.1.3.1

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.3

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.3.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.4

从根式下提出各项。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.5

约去 $3$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.5.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.5.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.6

乘以 $- (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.6.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.2

要将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 1.4.2.2.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.4.2.2.4.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.4.2

重新排序 $\sqrt{3} \cdot 3$ 的因式。

$\frac{- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.5

将 $- \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{3} - (1) - 1$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 - (1) - 1$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1 - 1$

解题步骤 3.1.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 3.1.2.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 3.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{3} - (2) - 1$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - (2) - 1$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 - 2 - 1$

解题步骤 3.2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$6 - 1$

解题步骤 3.2.2.2.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$5$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(1, - 1), (2, 5)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(2, 5)$

最小绝对值： $(1, - 1)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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