微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 f(x)=-x^3+8x^2-15x
解题步骤 1
求函数的一阶导数。
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解题步骤 1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.2
计算
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解题步骤 1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2.3
乘以
解题步骤 1.3
计算
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解题步骤 1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.3.3
乘以
解题步骤 1.4
计算
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解题步骤 1.4.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.4.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.4.3
乘以
解题步骤 2
求函数的二阶导数。
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解题步骤 2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.2
计算
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解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.3
乘以
解题步骤 2.3
计算
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解题步骤 2.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.3.3
乘以
解题步骤 2.4
使用常数法则求导。
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解题步骤 2.4.1
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 2.4.2
相加。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
求一阶导数。
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解题步骤 4.1
求一阶导数。
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解题步骤 4.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 4.1.2
计算
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解题步骤 4.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.2.3
乘以
解题步骤 4.1.3
计算
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解题步骤 4.1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.3.3
乘以
解题步骤 4.1.4
计算
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解题步骤 4.1.4.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.1.4.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.4.3
乘以
解题步骤 4.2
的一阶导数是
解题步骤 5
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 5.2
使用二次公式求解。
解题步骤 5.3
的值代入二次公式中并求解
解题步骤 5.4
化简。
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解题步骤 5.4.1
化简分子。
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解题步骤 5.4.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 5.4.1.2
乘以
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解题步骤 5.4.1.2.1
乘以
解题步骤 5.4.1.2.2
乘以
解题步骤 5.4.1.3
中减去
解题步骤 5.4.1.4
重写为
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解题步骤 5.4.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 5.4.1.4.2
重写为
解题步骤 5.4.1.5
从根式下提出各项。
解题步骤 5.4.2
乘以
解题步骤 5.4.3
化简
解题步骤 5.5
化简表达式以求 部分的解。
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解题步骤 5.5.1
化简分子。
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解题步骤 5.5.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 5.5.1.2
乘以
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解题步骤 5.5.1.2.1
乘以
解题步骤 5.5.1.2.2
乘以
解题步骤 5.5.1.3
中减去
解题步骤 5.5.1.4
重写为
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解题步骤 5.5.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 5.5.1.4.2
重写为
解题步骤 5.5.1.5
从根式下提出各项。
解题步骤 5.5.2
乘以
解题步骤 5.5.3
化简
解题步骤 5.5.4
变换为
解题步骤 5.6
化简表达式以求 部分的解。
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解题步骤 5.6.1
化简分子。
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解题步骤 5.6.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 5.6.1.2
乘以
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解题步骤 5.6.1.2.1
乘以
解题步骤 5.6.1.2.2
乘以
解题步骤 5.6.1.3
中减去
解题步骤 5.6.1.4
重写为
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解题步骤 5.6.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 5.6.1.4.2
重写为
解题步骤 5.6.1.5
从根式下提出各项。
解题步骤 5.6.2
乘以
解题步骤 5.6.3
化简
解题步骤 5.6.4
变换为
解题步骤 5.7
最终答案为两个解的组合。
解题步骤 6
求使导数无意义的值。
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解题步骤 6.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
计算二阶导数。
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解题步骤 9.1
化简每一项。
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解题步骤 9.1.1
约去 的公因数。
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解题步骤 9.1.1.1
中分解出因数
解题步骤 9.1.1.2
约去公因数。
解题步骤 9.1.1.3
重写表达式。
解题步骤 9.1.2
运用分配律。
解题步骤 9.1.3
乘以
解题步骤 9.2
通过加上各数进行化简。
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解题步骤 9.2.1
相加。
解题步骤 9.2.2
中减去
解题步骤 10
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 11
时的 y 值。
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解题步骤 11.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 11.2
化简结果。
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解题步骤 11.2.1
化简每一项。
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解题步骤 11.2.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 11.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 11.2.1.3
使用二项式定理。
解题步骤 11.2.1.4
化简每一项。
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解题步骤 11.2.1.4.1
进行 次方运算。
解题步骤 11.2.1.4.2
进行 次方运算。
解题步骤 11.2.1.4.3
乘以
解题步骤 11.2.1.4.4
乘以
解题步骤 11.2.1.4.5
重写为
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解题步骤 11.2.1.4.5.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 11.2.1.4.5.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 11.2.1.4.5.3
组合
解题步骤 11.2.1.4.5.4
约去 的公因数。
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解题步骤 11.2.1.4.5.4.1
约去公因数。
解题步骤 11.2.1.4.5.4.2
重写表达式。
解题步骤 11.2.1.4.5.5
计算指数。
解题步骤 11.2.1.4.6
乘以
解题步骤 11.2.1.4.7
重写为
解题步骤 11.2.1.4.8
进行 次方运算。
解题步骤 11.2.1.4.9
重写为
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解题步骤 11.2.1.4.9.1
中分解出因数
解题步骤 11.2.1.4.9.2
重写为
解题步骤 11.2.1.4.10
从根式下提出各项。
解题步骤 11.2.1.5
相加。
解题步骤 11.2.1.6
相加。
解题步骤 11.2.1.7
运用乘积法则。
解题步骤 11.2.1.8
进行 次方运算。
解题步骤 11.2.1.9
重写为
解题步骤 11.2.1.10
使用 FOIL 方法展开
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解题步骤 11.2.1.10.1
运用分配律。
解题步骤 11.2.1.10.2
运用分配律。
解题步骤 11.2.1.10.3
运用分配律。
解题步骤 11.2.1.11
化简并合并同类项。
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解题步骤 11.2.1.11.1
化简每一项。
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解题步骤 11.2.1.11.1.1
乘以
解题步骤 11.2.1.11.1.2
移到 的左侧。
解题步骤 11.2.1.11.1.3
使用根数乘积法则进行合并。
解题步骤 11.2.1.11.1.4
乘以
解题步骤 11.2.1.11.1.5
重写为
解题步骤 11.2.1.11.1.6
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 11.2.1.11.2
相加。
解题步骤 11.2.1.11.3
相加。
解题步骤 11.2.1.12
组合
解题步骤 11.2.1.13
约去 的公因数。
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解题步骤 11.2.1.13.1
中分解出因数
解题步骤 11.2.1.13.2
约去公因数。
解题步骤 11.2.1.13.3
重写表达式。
解题步骤 11.2.1.14
运用分配律。
解题步骤 11.2.1.15
乘以
解题步骤 11.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 11.2.3
通过与 的合适因数相乘,将每一个表达式写成具有公分母 的形式。
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解题步骤 11.2.3.1
乘以
解题步骤 11.2.3.2
乘以
解题步骤 11.2.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 11.2.5
化简分子。
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解题步骤 11.2.5.1
运用分配律。
解题步骤 11.2.5.2
乘以
解题步骤 11.2.5.3
乘以
解题步骤 11.2.5.4
运用分配律。
解题步骤 11.2.5.5
乘以
解题步骤 11.2.5.6
乘以
解题步骤 11.2.5.7
运用分配律。
解题步骤 11.2.5.8
乘以
解题步骤 11.2.5.9
乘以
解题步骤 11.2.5.10
相加。
解题步骤 11.2.5.11
相加。
解题步骤 11.2.6
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 11.2.7
组合
解题步骤 11.2.8
化简表达式。
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解题步骤 11.2.8.1
在公分母上合并分子。
解题步骤 11.2.8.2
乘以
解题步骤 11.2.8.3
中减去
解题步骤 11.2.9
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 11.2.10
合并分数。
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解题步骤 11.2.10.1
组合
解题步骤 11.2.10.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 11.2.11
化简分子。
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解题步骤 11.2.11.1
乘以
解题步骤 11.2.11.2
中减去
解题步骤 11.2.12
通过提取公因式进行化简。
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解题步骤 11.2.12.1
重写为
解题步骤 11.2.12.2
中分解出因数
解题步骤 11.2.12.3
中分解出因数
解题步骤 11.2.12.4
将负号移到分数的前面。
解题步骤 11.2.13
最终答案为
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
计算二阶导数。
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解题步骤 13.1
化简每一项。
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解题步骤 13.1.1
约去 的公因数。
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解题步骤 13.1.1.1
中分解出因数
解题步骤 13.1.1.2
约去公因数。
解题步骤 13.1.1.3
重写表达式。
解题步骤 13.1.2
运用分配律。
解题步骤 13.1.3
乘以
解题步骤 13.1.4
乘以
解题步骤 13.2
通过加上各数进行化简。
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解题步骤 13.2.1
相加。
解题步骤 13.2.2
相加。
解题步骤 14
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 15
时的 y 值。
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解题步骤 15.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 15.2
化简结果。
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解题步骤 15.2.1
化简每一项。
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解题步骤 15.2.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 15.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.3
使用二项式定理。
解题步骤 15.2.1.4
化简每一项。
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解题步骤 15.2.1.4.1
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.4.2
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.4.3
乘以
解题步骤 15.2.1.4.4
乘以
解题步骤 15.2.1.4.5
乘以
解题步骤 15.2.1.4.6
运用乘积法则。
解题步骤 15.2.1.4.7
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.4.8
乘以
解题步骤 15.2.1.4.9
重写为
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解题步骤 15.2.1.4.9.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 15.2.1.4.9.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 15.2.1.4.9.3
组合
解题步骤 15.2.1.4.9.4
约去 的公因数。
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解题步骤 15.2.1.4.9.4.1
约去公因数。
解题步骤 15.2.1.4.9.4.2
重写表达式。
解题步骤 15.2.1.4.9.5
计算指数。
解题步骤 15.2.1.4.10
乘以
解题步骤 15.2.1.4.11
运用乘积法则。
解题步骤 15.2.1.4.12
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.4.13
重写为
解题步骤 15.2.1.4.14
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.4.15
重写为
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解题步骤 15.2.1.4.15.1
中分解出因数
解题步骤 15.2.1.4.15.2
重写为
解题步骤 15.2.1.4.16
从根式下提出各项。
解题步骤 15.2.1.4.17
乘以
解题步骤 15.2.1.5
相加。
解题步骤 15.2.1.6
中减去
解题步骤 15.2.1.7
运用乘积法则。
解题步骤 15.2.1.8
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.9
重写为
解题步骤 15.2.1.10
使用 FOIL 方法展开
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解题步骤 15.2.1.10.1
运用分配律。
解题步骤 15.2.1.10.2
运用分配律。
解题步骤 15.2.1.10.3
运用分配律。
解题步骤 15.2.1.11
化简并合并同类项。
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解题步骤 15.2.1.11.1
化简每一项。
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解题步骤 15.2.1.11.1.1
乘以
解题步骤 15.2.1.11.1.2
乘以
解题步骤 15.2.1.11.1.3
乘以
解题步骤 15.2.1.11.1.4
乘以
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解题步骤 15.2.1.11.1.4.1
乘以
解题步骤 15.2.1.11.1.4.2
乘以
解题步骤 15.2.1.11.1.4.3
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.11.1.4.4
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.11.1.4.5
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 15.2.1.11.1.4.6
相加。
解题步骤 15.2.1.11.1.5
重写为
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解题步骤 15.2.1.11.1.5.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 15.2.1.11.1.5.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 15.2.1.11.1.5.3
组合
解题步骤 15.2.1.11.1.5.4
约去 的公因数。
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解题步骤 15.2.1.11.1.5.4.1
约去公因数。
解题步骤 15.2.1.11.1.5.4.2
重写表达式。
解题步骤 15.2.1.11.1.5.5
计算指数。
解题步骤 15.2.1.11.2
相加。
解题步骤 15.2.1.11.3
中减去
解题步骤 15.2.1.12
组合
解题步骤 15.2.1.13
约去 的公因数。
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解题步骤 15.2.1.13.1
中分解出因数
解题步骤 15.2.1.13.2
约去公因数。
解题步骤 15.2.1.13.3
重写表达式。
解题步骤 15.2.1.14
运用分配律。
解题步骤 15.2.1.15
乘以
解题步骤 15.2.1.16
乘以
解题步骤 15.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 15.2.3
通过与 的合适因数相乘,将每一个表达式写成具有公分母 的形式。
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解题步骤 15.2.3.1
乘以
解题步骤 15.2.3.2
乘以
解题步骤 15.2.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 15.2.5
化简分子。
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解题步骤 15.2.5.1
运用分配律。
解题步骤 15.2.5.2
乘以
解题步骤 15.2.5.3
乘以
解题步骤 15.2.5.4
运用分配律。
解题步骤 15.2.5.5
乘以
解题步骤 15.2.5.6
乘以
解题步骤 15.2.5.7
运用分配律。
解题步骤 15.2.5.8
乘以
解题步骤 15.2.5.9
乘以
解题步骤 15.2.5.10
相加。
解题步骤 15.2.5.11
中减去
解题步骤 15.2.6
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 15.2.7
组合
解题步骤 15.2.8
化简表达式。
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解题步骤 15.2.8.1
在公分母上合并分子。
解题步骤 15.2.8.2
乘以
解题步骤 15.2.8.3
中减去
解题步骤 15.2.9
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 15.2.10
合并分数。
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解题步骤 15.2.10.1
组合
解题步骤 15.2.10.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 15.2.11
化简分子。
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解题步骤 15.2.11.1
乘以
解题步骤 15.2.11.2
相加。
解题步骤 15.2.12
通过提取公因式进行化简。
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解题步骤 15.2.12.1
重写为
解题步骤 15.2.12.2
中分解出因数
解题步骤 15.2.12.3
中分解出因数
解题步骤 15.2.12.4
将负号移到分数的前面。
解题步骤 15.2.13
最终答案为
解题步骤 16
这些是 的局部极值。
是一个局部最大值
是一个局部最小值
解题步骤 17