微积分学示例

$f (θ) = \sin (θ)$ , $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$f' (θ) = \cos (θ)$

解题步骤 1.1.2

$f (θ)$ 对 $θ$ 的一阶导数是 $\cos (θ)$ 。

$\cos (θ)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\cos (θ) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\cos (θ) = 0$

解题步骤 1.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (0)$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.5

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.5.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 1.2.5.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.6

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.7

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.8

合并答案。

$θ = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $θ$ 值，计算 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $θ = \frac{π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{π}{2}$ 替换 $θ$ 。

$\sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.4.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 1.4.2

在 $θ = \frac{3 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{3 π}{2}$ 替换 $θ$ 。

$\sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.4.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 1), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, - 1)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(\frac{π}{2}, 1), (- \frac{π}{2}, - 1)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $θ = - \frac{π}{2}$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $- \frac{π}{2}$ 替换 $θ$ 。

$\sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 3.1.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.1.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 3.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 3.2

在 $θ = \frac{5 π}{6}$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $\frac{5 π}{6}$ 替换 $θ$ 。

$\sin (\frac{5 π}{6})$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.2.2.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(- \frac{π}{2}, - 1), (\frac{5 π}{6}, \frac{1}{2})$

解题步骤 4

将每个 $θ$ 的值对应所得的 $f (θ)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (θ)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (θ)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{π}{2}, 1)$

最小绝对值： $(- \frac{π}{2}, - 1)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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