微积分学示例

$f (x) = \sin (x) \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 1.1.1.8

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

解题步骤 1.1.1.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

解题步骤 1.1.1.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.1.1.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.1.1.12

化简。

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解题步骤 1.1.1.12.1

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 重新排序。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 1.1.1.12.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.3

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.1.1.12.3.1

运用分配律。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.3.2

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.3.3

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.4

合并 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.12.4.1

按照 $\cos (x) (- \sin (x))$ 和 $\sin (x) \cos (x)$ 重新排列因数。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.4.2

将 $- \cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.4.3

将 $\cos (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.5

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.12.5.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1.12.5.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.5.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

解题步骤 1.1.1.12.5.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1.12.5.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.12.5.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 1.1.1.12.5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.1.1.12.5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 1.1.1.12.6

使用余弦倍角公式。

$f' (x) = \cos (2 x)$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\cos (2 x)$ 。

$\cos (2 x)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\cos (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (0)$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.4.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.4.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

化简。

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解题步骤 1.2.6.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.6.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 1.2.6.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.6.2.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.6.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 1.2.7

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 1.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 1.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 1.2.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.8

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.9

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sin (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{π}{4}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.4.4.2

重写表达式。

$\frac{2^{1}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.4.5

计算指数。

$\frac{2}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{3 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.4.2.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.5

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.5.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.5.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.5.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{2^{1}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.6.5

计算指数。

$- \frac{2}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.7

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.7.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.7.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.7.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{1}{2})$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{5 π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{1}{2})$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\sin (0) \cos (0)$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 \cos (0)$

解题步骤 3.1.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 3.1.2.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

解题步骤 3.2

在 $x = 2 π$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $2 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 π) \cos (2 π)$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sin (0) \cos (2 π)$

解题步骤 3.2.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 \cos (2 π)$

解题步骤 3.2.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$0 \cos (0)$

解题步骤 3.2.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 3.2.2.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(0, 0), (2 π, 0)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{5 π}{4}, \frac{1}{2})$

最小绝对值： $(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{1}{2})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例