微积分学示例

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $x^{2} + 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

重新排序项。

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.2

把 $- 2$ 重写为 $1$ 加 $- 3$

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.7

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.8

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.9

将 $- (x - 1)$ 重写为 $- 1 (x - 1)$ 。

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.10

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 。

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$(x - 1) (x + 3) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.3.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.3.3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 1.2.3.4

最终解为使 $(x - 1) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 3$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

解题步骤 1.4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{1 + 3}$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

解题步骤 1.4.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 2}{9 + 3}$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 2}{12}$

解题步骤 1.4.2.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.4.2.2.3.1

约去 $- 2$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.3.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{12}$

解题步骤 1.4.2.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.3.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

解题步骤 1.4.2.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

解题步骤 1.4.2.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{6}$

解题步骤 1.4.2.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{6}$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(1, \frac{1}{2})$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

解题步骤 3.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{1 + 3}$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{4}$

解题步骤 3.1.2.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$0$

解题步骤 3.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

解题步骤 3.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{4 + 3}$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3}{7}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(1, \frac{1}{2})$

最小绝对值： $(- 1, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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