微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 f(x)=-3|x|
解题步骤 1
求函数的一阶导数。
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解题步骤 1.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.2
的导数为
解题步骤 1.3
合并分数。
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解题步骤 1.3.1
组合
解题步骤 1.3.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2
求函数的二阶导数。
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解题步骤 2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.3
使用幂法则求微分。
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解题步骤 2.3.1
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.3.2
乘以
解题步骤 2.4
的导数为
解题步骤 2.5
组合
解题步骤 2.6
进行 次方运算。
解题步骤 2.7
进行 次方运算。
解题步骤 2.8
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.9
相加。
解题步骤 2.10
组合
解题步骤 2.11
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2.12
化简。
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解题步骤 2.12.1
运用分配律。
解题步骤 2.12.2
化简每一项。
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解题步骤 2.12.2.1
乘以
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解题步骤 2.12.2.1.1
乘以
解题步骤 2.12.2.1.2
组合
解题步骤 2.12.2.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2.12.3
化简分子。
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解题步骤 2.12.3.1
中分解出因数
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解题步骤 2.12.3.1.1
中分解出因数
解题步骤 2.12.3.1.2
中分解出因数
解题步骤 2.12.3.1.3
中分解出因数
解题步骤 2.12.3.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 2.12.3.3
在公分母上合并分子。
解题步骤 2.12.3.4
化简分子。
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解题步骤 2.12.3.4.1
乘以
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解题步骤 2.12.3.4.1.1
要将绝对值相乘,请将每个绝对值内的项相乘。
解题步骤 2.12.3.4.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 2.12.3.4.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 2.12.3.4.1.4
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.12.3.4.1.5
相加。
解题步骤 2.12.3.4.2
从绝对值中去掉非负项。
解题步骤 2.12.3.4.3
中减去
解题步骤 2.12.3.5
除以
解题步骤 2.12.4
去掉 的绝对值符号,因为偶次幂的求幂结果恒为正。
解题步骤 2.12.5
乘以
解题步骤 2.12.6
除以
解题步骤 2.12.7
乘以
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
求一阶导数。
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解题步骤 4.1
求一阶导数。
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解题步骤 4.1.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.1.2
的导数为
解题步骤 4.1.3
合并分数。
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解题步骤 4.1.3.1
组合
解题步骤 4.1.3.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 4.2
的一阶导数是
解题步骤 5
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 5.2
将分子设为等于零。
解题步骤 5.3
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 5.3.1
中的每一项都除以
解题步骤 5.3.2
化简左边。
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解题步骤 5.3.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 5.3.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 5.3.2.1.2
除以
解题步骤 5.3.3
化简右边。
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解题步骤 5.3.3.1
除以
解题步骤 5.4
排除不能使 成立的解。
解题步骤 6
求使导数无意义的值。
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解题步骤 6.1
的分母设为等于 ,以求使表达式无意义的区间。
解题步骤 6.2
求解
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解题步骤 6.2.1
去掉绝对值项。因为 ,所以这将使方程右边新增
解题步骤 6.2.2
正负
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
因为至少有一个点是 或使二阶导数无意义,所以使用一阶导数判别法。
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解题步骤 9.1
根据使一阶导数为 或无意义的 值,将 分割为不同的区间。
解题步骤 9.2
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
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解题步骤 9.2.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 9.2.2
化简结果。
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解题步骤 9.2.2.1
乘以
解题步骤 9.2.2.2
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 9.2.2.3
除以
解题步骤 9.2.2.4
最终答案为
解题步骤 9.3
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
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解题步骤 9.3.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 9.3.2
化简结果。
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解题步骤 9.3.2.1
乘以
解题步骤 9.3.2.2
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 9.3.2.3
除以
解题步骤 9.3.2.4
乘以
解题步骤 9.3.2.5
最终答案为
解题步骤 9.4
由于一阶导数在 周围从正号变为负号,因此 是极大值。
是一个极大值
是一个极大值
解题步骤 10