微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 f(x)=cos(x+pi/4) , 0<=x<=2pi
,
解题步骤 1
求驻点。
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解题步骤 1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 1.1.1.1.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 1.1.1.1.2
的导数为
解题步骤 1.1.1.1.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 1.1.1.2
求微分。
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解题步骤 1.1.1.2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2.3
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.1.2.4
化简表达式。
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解题步骤 1.1.1.2.4.1
相加。
解题步骤 1.1.1.2.4.2
乘以
解题步骤 1.1.2
的一阶导数是
解题步骤 1.2
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 1.2.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 1.2.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 1.2.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 1.2.2.2
化简左边。
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解题步骤 1.2.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 1.2.2.2.2
除以
解题步骤 1.2.2.3
化简右边。
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解题步骤 1.2.2.3.1
除以
解题步骤 1.2.3
取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的
解题步骤 1.2.4
化简右边。
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解题步骤 1.2.4.1
的准确值为
解题步骤 1.2.5
从等式两边同时减去
解题步骤 1.2.6
正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解,可从 减去参考角以求第二象限中的解。
解题步骤 1.2.7
求解
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解题步骤 1.2.7.1
中减去
解题步骤 1.2.7.2
将所有不包含 的项移到等式右边。
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解题步骤 1.2.7.2.1
从等式两边同时减去
解题步骤 1.2.7.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.2.7.2.3
组合
解题步骤 1.2.7.2.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.2.7.2.5
化简分子。
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解题步骤 1.2.7.2.5.1
移到 的左侧。
解题步骤 1.2.7.2.5.2
中减去
解题步骤 1.2.8
的周期。
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解题步骤 1.2.8.1
函数的周期可利用 进行计算。
解题步骤 1.2.8.2
使用周期公式中的 替换
解题步骤 1.2.8.3
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 1.2.8.4
除以
解题步骤 1.2.9
和每一个负角相加以得出正角。
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解题步骤 1.2.9.1
加到 以求正角。
解题步骤 1.2.9.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.2.9.3
合并分数。
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解题步骤 1.2.9.3.1
组合
解题步骤 1.2.9.3.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.2.9.4
化简分子。
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解题步骤 1.2.9.4.1
乘以
解题步骤 1.2.9.4.2
中减去
解题步骤 1.2.9.5
列出新角。
解题步骤 1.2.10
函数的周期为 ,所以函数值在两个方向上每隔 弧度将重复出现。
,对于任意整数
解题步骤 1.2.11
合并答案。
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 1.3
求使导数无意义的值。
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解题步骤 1.3.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 1.4
对每个导数为 或无意义的 值,计算
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解题步骤 1.4.1
处计算
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解题步骤 1.4.1.1
代入 替换
解题步骤 1.4.1.2
化简。
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解题步骤 1.4.1.2.1
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.4.1.2.2
相加。
解题步骤 1.4.1.2.3
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.3.1
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.3.2
除以
解题步骤 1.4.1.2.4
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 1.4.1.2.5
的准确值为
解题步骤 1.4.1.2.6
乘以
解题步骤 1.4.2
处计算
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解题步骤 1.4.2.1
代入 替换
解题步骤 1.4.2.2
化简。
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解题步骤 1.4.2.2.1
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.4.2.2.2
相加。
解题步骤 1.4.2.2.3
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.2.2.3.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.2.2.3.2
约去公因数。
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解题步骤 1.4.2.2.3.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.2.2.3.2.2
约去公因数。
解题步骤 1.4.2.2.3.2.3
重写表达式。
解题步骤 1.4.2.2.3.2.4
除以
解题步骤 1.4.2.2.4
减去 的全角,直至角度大于等于 且小于
解题步骤 1.4.2.2.5
的准确值为
解题步骤 1.4.3
列出所有的点。
,对于任意整数
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 2
排除不在区间内的点。
解题步骤 3
计算闭区间端点处的值。
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解题步骤 3.1
处计算
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解题步骤 3.1.1
代入 替换
解题步骤 3.1.2
化简。
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解题步骤 3.1.2.1
相加。
解题步骤 3.1.2.2
的准确值为
解题步骤 3.2
处计算
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解题步骤 3.2.1
代入 替换
解题步骤 3.2.2
化简。
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解题步骤 3.2.2.1
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 3.2.2.2
合并分数。
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解题步骤 3.2.2.2.1
组合
解题步骤 3.2.2.2.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 3.2.2.3
化简分子。
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解题步骤 3.2.2.3.1
乘以
解题步骤 3.2.2.3.2
相加。
解题步骤 3.2.2.4
减去 的全角,直至角度大于等于 且小于
解题步骤 3.2.2.5
的准确值为
解题步骤 3.3
列出所有的点。
解题步骤 4
将每个 的值对应所得的 的值进行比较,以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 时产生,而最小值在取最低值 时产生。
最大绝对值:
最小绝对值:
解题步骤 5