微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 f(x)=(2x^(5/2))/5-(4x^(3/2))/3+(x^2)/2-4 , [0,3]
,
解题步骤 1
求驻点。
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解题步骤 1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.2
计算
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解题步骤 1.1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2.3
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.1.1.2.4
组合
解题步骤 1.1.1.2.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.1.1.2.6
化简分子。
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解题步骤 1.1.1.2.6.1
乘以
解题步骤 1.1.1.2.6.2
中减去
解题步骤 1.1.1.2.7
组合
解题步骤 1.1.1.2.8
乘以
解题步骤 1.1.1.2.9
乘以
解题步骤 1.1.1.2.10
乘以
解题步骤 1.1.1.2.11
约去公因数。
解题步骤 1.1.1.2.12
除以
解题步骤 1.1.1.3
计算
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解题步骤 1.1.1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.3.3
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.1.1.3.4
组合
解题步骤 1.1.1.3.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.1.1.3.6
化简分子。
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解题步骤 1.1.1.3.6.1
乘以
解题步骤 1.1.1.3.6.2
中减去
解题步骤 1.1.1.3.7
组合
解题步骤 1.1.1.3.8
乘以
解题步骤 1.1.1.3.9
乘以
解题步骤 1.1.1.3.10
乘以
解题步骤 1.1.1.3.11
中分解出因数
解题步骤 1.1.1.3.12
约去公因数。
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解题步骤 1.1.1.3.12.1
中分解出因数
解题步骤 1.1.1.3.12.2
约去公因数。
解题步骤 1.1.1.3.12.3
重写表达式。
解题步骤 1.1.1.3.12.4
除以
解题步骤 1.1.1.3.13
乘以
解题步骤 1.1.1.4
计算
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解题步骤 1.1.1.4.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.1.4.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.4.3
组合
解题步骤 1.1.1.4.4
组合
解题步骤 1.1.1.4.5
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.1.4.5.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.1.4.5.2
除以
解题步骤 1.1.1.5
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.1.6
化简。
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解题步骤 1.1.1.6.1
相加。
解题步骤 1.1.1.6.2
重新排序项。
解题步骤 1.1.2
的一阶导数是
解题步骤 1.2
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 1.2.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 1.2.2
求每项中都有的公因数
解题步骤 1.2.3
代入 替换
解题步骤 1.2.4
求解
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解题步骤 1.2.4.1
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 1.2.4.1.1
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.2.4.1.2
相加。
解题步骤 1.2.4.2
中分解出因数
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解题步骤 1.2.4.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.2.4.2.2
中分解出因数
解题步骤 1.2.4.2.3
中分解出因数
解题步骤 1.2.4.3
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于
解题步骤 1.2.4.4
设为等于
解题步骤 1.2.4.5
设为等于 并求解
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解题步骤 1.2.4.5.1
设为等于
解题步骤 1.2.4.5.2
求解
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解题步骤 1.2.4.5.2.1
在等式两边都加上
解题步骤 1.2.4.5.2.2
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 1.2.4.5.2.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 1.2.4.5.2.3.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 1.2.4.5.2.3.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 1.2.4.5.2.3.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 1.2.4.6
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 1.2.5
代入 替换
解题步骤 1.2.6
求解
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解题步骤 1.2.6.1
将方程两边同时进行 次方运算以消去左边的分数指数。
解题步骤 1.2.6.2
化简指数。
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解题步骤 1.2.6.2.1
化简左边。
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解题步骤 1.2.6.2.1.1
化简
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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1
中的指数相乘。
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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.1
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2.2
重写表达式。
解题步骤 1.2.6.2.1.1.2
化简。
解题步骤 1.2.6.2.2
化简右边。
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解题步骤 1.2.6.2.2.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 1.2.7
求解
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解题步骤 1.2.7.1
将方程两边同时进行 次方运算以消去左边的分数指数。
解题步骤 1.2.7.2
化简指数。
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解题步骤 1.2.7.2.1
化简左边。
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解题步骤 1.2.7.2.1.1
化简
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解题步骤 1.2.7.2.1.1.1
中的指数相乘。
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解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.1
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.2
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.2.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.2.2
重写表达式。
解题步骤 1.2.7.2.1.1.2
化简。
解题步骤 1.2.7.2.2
化简右边。
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解题步骤 1.2.7.2.2.1
重写为
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解题步骤 1.2.7.2.2.1.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.2.7.2.2.1.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.2.7.2.2.1.3
组合
解题步骤 1.2.7.2.2.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.2
约去公因数。
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解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.2.3
重写表达式。
解题步骤 1.2.7.2.2.1.5
重写为
解题步骤 1.2.8
列出所有解。
解题步骤 1.2.9
排除不能使 成立的解。
解题步骤 1.3
求使导数无意义的值。
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解题步骤 1.3.1
将分数指数表达式转化为根式。
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解题步骤 1.3.1.1
应用法则 将乘幂重写成根数。
解题步骤 1.3.1.2
应用法则 将乘幂重写成根数。
解题步骤 1.3.1.3
任何指数为 的幂均为底数本身。
解题步骤 1.3.2
的被开方数设为小于 ,以求使表达式无意义的区间。
解题步骤 1.3.3
求解
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解题步骤 1.3.3.1
取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 1.3.3.2
化简方程。
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解题步骤 1.3.3.2.1
化简左边。
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解题步骤 1.3.3.2.1.1
从根式下提出各项。
解题步骤 1.3.3.2.2
化简右边。
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解题步骤 1.3.3.2.2.1
化简
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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1
重写为
解题步骤 1.3.3.2.2.1.2
从根式下提出各项。
解题步骤 1.3.4
方程在分母等于 时无定义,平方根的自变量小于 或者对数的自变量小于或等于
解题步骤 1.4
对每个导数为 或无意义的 值,计算
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解题步骤 1.4.1
处计算
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解题步骤 1.4.1.1
代入 替换
解题步骤 1.4.1.2
化简。
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解题步骤 1.4.1.2.1
化简每一项。
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解题步骤 1.4.1.2.1.1
化简分子。
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解题步骤 1.4.1.2.1.1.1
重写为
解题步骤 1.4.1.2.1.1.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.4.1.2.1.1.3
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.1.1.3.1
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.1.1.3.2
重写表达式。
解题步骤 1.4.1.2.1.1.4
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 1.4.1.2.1.2
乘以
解题步骤 1.4.1.2.1.3
除以
解题步骤 1.4.1.2.1.4
化简分子。
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解题步骤 1.4.1.2.1.4.1
重写为
解题步骤 1.4.1.2.1.4.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.4.1.2.1.4.3
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.1.4.3.1
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.1.4.3.2
重写表达式。
解题步骤 1.4.1.2.1.4.4
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 1.4.1.2.1.5
乘以
解题步骤 1.4.1.2.1.6
除以
解题步骤 1.4.1.2.1.7
乘以
解题步骤 1.4.1.2.1.8
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 1.4.1.2.1.9
除以
解题步骤 1.4.1.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 1.4.1.2.2.1
相加。
解题步骤 1.4.1.2.2.2
相加。
解题步骤 1.4.1.2.2.3
中减去
解题步骤 1.4.2
列出所有的点。
解题步骤 2
计算闭区间端点处的值。
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解题步骤 2.1
处计算
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解题步骤 2.1.1
代入 替换
解题步骤 2.1.2
化简。
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解题步骤 2.1.2.1
化简每一项。
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解题步骤 2.1.2.1.1
化简分子。
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解题步骤 2.1.2.1.1.1
重写为
解题步骤 2.1.2.1.1.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 2.1.2.1.1.3
约去 的公因数。
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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1
约去公因数。
解题步骤 2.1.2.1.1.3.2
重写表达式。
解题步骤 2.1.2.1.1.4
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 2.1.2.1.2
乘以
解题步骤 2.1.2.1.3
除以
解题步骤 2.1.2.1.4
化简分子。
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解题步骤 2.1.2.1.4.1
重写为
解题步骤 2.1.2.1.4.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 2.1.2.1.4.3
约去 的公因数。
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解题步骤 2.1.2.1.4.3.1
约去公因数。
解题步骤 2.1.2.1.4.3.2
重写表达式。
解题步骤 2.1.2.1.4.4
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 2.1.2.1.5
乘以
解题步骤 2.1.2.1.6
除以
解题步骤 2.1.2.1.7
乘以
解题步骤 2.1.2.1.8
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 2.1.2.1.9
除以
解题步骤 2.1.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 2.1.2.2.1
相加。
解题步骤 2.1.2.2.2
相加。
解题步骤 2.1.2.2.3
中减去
解题步骤 2.2
处计算
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解题步骤 2.2.1
代入 替换
解题步骤 2.2.2
化简。
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解题步骤 2.2.2.1
化简每一项。
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解题步骤 2.2.2.1.1
使用负指数规则 移动到分子。
解题步骤 2.2.2.1.2
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 2.2.2.1.2.1
移动
解题步骤 2.2.2.1.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.2.2.1.2.3
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 2.2.2.1.2.4
组合
解题步骤 2.2.2.1.2.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 2.2.2.1.2.6
化简分子。
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解题步骤 2.2.2.1.2.6.1
乘以
解题步骤 2.2.2.1.2.6.2
相加。
解题步骤 2.2.2.1.3
乘以
解题步骤 2.2.2.1.4
进行 次方运算。
解题步骤 2.2.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 2.2.2.3
组合
解题步骤 2.2.2.4
化简表达式。
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解题步骤 2.2.2.4.1
在公分母上合并分子。
解题步骤 2.2.2.4.2
乘以
解题步骤 2.2.2.5
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 2.2.2.6
组合
解题步骤 2.2.2.7
在公分母上合并分子。
解题步骤 2.2.2.8
化简分子。
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解题步骤 2.2.2.8.1
乘以
解题步骤 2.2.2.8.2
中减去
解题步骤 2.3
列出所有的点。
解题步骤 3
将每个 的值对应所得的 的值进行比较,以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 时产生,而最小值在取最低值 时产生。
最大绝对值:
最小绝对值:
解题步骤 4