微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 f(x)=x^2+1/x , x>0
,
解题步骤 1
求驻点。
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解题步骤 1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1.1
求微分。
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解题步骤 1.1.1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2
计算
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解题步骤 1.1.1.2.1
重写为
解题步骤 1.1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.3
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 1.1.2
的一阶导数是
解题步骤 1.2
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 1.2.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 1.2.2
求方程中各项的最小公分母 (LCD)。
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解题步骤 1.2.2.1
求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。
解题步骤 1.2.2.2
1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。
解题步骤 1.2.3
中的每一项乘以 以消去分数。
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解题步骤 1.2.3.1
中的每一项乘以
解题步骤 1.2.3.2
化简左边。
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解题步骤 1.2.3.2.1
化简每一项。
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解题步骤 1.2.3.2.1.1
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 1.2.3.2.1.1.1
移动
解题步骤 1.2.3.2.1.1.2
乘以
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解题步骤 1.2.3.2.1.1.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 1.2.3.2.1.1.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.2.3.2.1.1.3
相加。
解题步骤 1.2.3.2.1.2
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1
中前置负号移到分子中。
解题步骤 1.2.3.2.1.2.2
约去公因数。
解题步骤 1.2.3.2.1.2.3
重写表达式。
解题步骤 1.2.3.3
化简右边。
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解题步骤 1.2.3.3.1
乘以
解题步骤 1.2.4
求解方程。
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解题步骤 1.2.4.1
在等式两边都加上
解题步骤 1.2.4.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 1.2.4.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 1.2.4.2.2
化简左边。
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解题步骤 1.2.4.2.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.4.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.4.2.2.1.2
除以
解题步骤 1.2.4.3
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 1.2.4.4
化简
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解题步骤 1.2.4.4.1
重写为
解题步骤 1.2.4.4.2
的任意次方根都是
解题步骤 1.2.4.4.3
乘以
解题步骤 1.2.4.4.4
合并和化简分母。
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解题步骤 1.2.4.4.4.1
乘以
解题步骤 1.2.4.4.4.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.2.4.4.4.3
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.2.4.4.4.4
相加。
解题步骤 1.2.4.4.4.5
重写为
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解题步骤 1.2.4.4.4.5.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.2.4.4.4.5.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.2.4.4.4.5.3
组合
解题步骤 1.2.4.4.4.5.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.4.4.4.5.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.4.4.4.5.4.2
重写表达式。
解题步骤 1.2.4.4.4.5.5
计算指数。
解题步骤 1.2.4.4.5
化简分子。
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解题步骤 1.2.4.4.5.1
重写为
解题步骤 1.2.4.4.5.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.3
求使导数无意义的值。
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解题步骤 1.3.1
的分母设为等于 ,以求使表达式无意义的区间。
解题步骤 1.3.2
求解
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解题步骤 1.3.2.1
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 1.3.2.2
化简
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解题步骤 1.3.2.2.1
重写为
解题步骤 1.3.2.2.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 1.3.2.2.3
正负
解题步骤 1.4
对每个导数为 或无意义的 值,计算
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解题步骤 1.4.1
处计算
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解题步骤 1.4.1.1
代入 替换
解题步骤 1.4.1.2
化简。
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解题步骤 1.4.1.2.1
化简每一项。
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解题步骤 1.4.1.2.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 1.4.1.2.1.2
化简分子。
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解题步骤 1.4.1.2.1.2.1
重写为
解题步骤 1.4.1.2.1.2.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.1.2.1.2.3
重写为
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解题步骤 1.4.1.2.1.2.3.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.1.2.3.2
重写为
解题步骤 1.4.1.2.1.2.4
从根式下提出各项。
解题步骤 1.4.1.2.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.1.2.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.1.4.2
约去公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.1.4.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.1.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.1.4.2.3
重写表达式。
解题步骤 1.4.1.2.1.5
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 1.4.1.2.1.6
乘以
解题步骤 1.4.1.2.1.7
乘以
解题步骤 1.4.1.2.1.8
合并和化简分母。
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解题步骤 1.4.1.2.1.8.1
乘以
解题步骤 1.4.1.2.1.8.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.1.2.1.8.3
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.4.1.2.1.8.4
相加。
解题步骤 1.4.1.2.1.8.5
重写为
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解题步骤 1.4.1.2.1.8.5.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.4.1.2.1.8.5.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.4.1.2.1.8.5.3
组合
解题步骤 1.4.1.2.1.8.5.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.1.8.5.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.1.8.5.4.2
重写表达式。
解题步骤 1.4.1.2.1.8.5.5
计算指数。
解题步骤 1.4.1.2.1.9
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.1.9.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.1.9.2
约去公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.1.9.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.1.9.2.2
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.1.9.2.3
重写表达式。
解题步骤 1.4.1.2.1.10
化简分子。
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解题步骤 1.4.1.2.1.10.1
重写为
解题步骤 1.4.1.2.1.10.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.1.2.1.10.3
重写为
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解题步骤 1.4.1.2.1.10.3.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.1.10.3.2
重写为
解题步骤 1.4.1.2.1.10.4
从根式下提出各项。
解题步骤 1.4.1.2.1.11
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.1.11.1
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.1.11.2
除以
解题步骤 1.4.1.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.4.1.2.3
合并分数。
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解题步骤 1.4.1.2.3.1
组合
解题步骤 1.4.1.2.3.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.4.1.2.4
化简分子。
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解题步骤 1.4.1.2.4.1
移到 的左侧。
解题步骤 1.4.1.2.4.2
相加。
解题步骤 1.4.2
处计算
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解题步骤 1.4.2.1
代入 替换
解题步骤 1.4.2.2
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
无定义
解题步骤 1.4.3
列出所有的点。
解题步骤 2
使用一阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。
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解题步骤 2.1
根据使一阶导数为 或无意义的 值,将 分割为不同的区间。
解题步骤 2.2
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
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解题步骤 2.2.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 2.2.2
化简结果。
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解题步骤 2.2.2.1
化简每一项。
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解题步骤 2.2.2.1.1
乘以
解题步骤 2.2.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 2.2.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 2.2.2.3
组合
解题步骤 2.2.2.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 2.2.2.5
化简分子。
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解题步骤 2.2.2.5.1
乘以
解题步骤 2.2.2.5.2
中减去
解题步骤 2.2.2.6
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2.2.2.7
最终答案为
解题步骤 2.3
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
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解题步骤 2.3.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 2.3.2
化简结果。
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解题步骤 2.3.2.1
化简每一项。
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解题步骤 2.3.2.1.1
乘以
解题步骤 2.3.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 2.3.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 2.3.2.3
组合
解题步骤 2.3.2.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 2.3.2.5
化简分子。
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解题步骤 2.3.2.5.1
乘以
解题步骤 2.3.2.5.2
中减去
解题步骤 2.3.2.6
最终答案为
解题步骤 2.4
由于一阶导数在 周围从负号变为正号,因此 是极小值。
是一个极小值
是一个极小值
解题步骤 3
将每个 的值对应所得的 的值进行比较,以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 时产生,而最小值在取最低值 时产生。
没有绝对最大值
最小绝对值:
解题步骤 4