微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 f(x)=x^4-18x^2+81
解题步骤 1
求函数的一阶导数。
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解题步骤 1.1
求微分。
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解题步骤 1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2
计算
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解题步骤 1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2.3
乘以
解题步骤 1.3
使用常数法则求导。
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解题步骤 1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.3.2
相加。
解题步骤 2
求函数的二阶导数。
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解题步骤 2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.2
计算
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解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.3
乘以
解题步骤 2.3
计算
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解题步骤 2.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.3.3
乘以
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
求一阶导数。
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解题步骤 4.1
求一阶导数。
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解题步骤 4.1.1
求微分。
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解题步骤 4.1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 4.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.2
计算
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解题步骤 4.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.2.3
乘以
解题步骤 4.1.3
使用常数法则求导。
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解题步骤 4.1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 4.1.3.2
相加。
解题步骤 4.2
的一阶导数是
解题步骤 5
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 5.2
对方程左边进行因式分解。
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解题步骤 5.2.1
中分解出因数
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解题步骤 5.2.1.1
中分解出因数
解题步骤 5.2.1.2
中分解出因数
解题步骤 5.2.1.3
中分解出因数
解题步骤 5.2.2
重写为
解题步骤 5.2.3
因数。
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解题步骤 5.2.3.1
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 进行因式分解,其中
解题步骤 5.2.3.2
去掉多余的括号。
解题步骤 5.3
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于
解题步骤 5.4
设为等于
解题步骤 5.5
设为等于 并求解
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解题步骤 5.5.1
设为等于
解题步骤 5.5.2
从等式两边同时减去
解题步骤 5.6
设为等于 并求解
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解题步骤 5.6.1
设为等于
解题步骤 5.6.2
在等式两边都加上
解题步骤 5.7
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 6
求使导数无意义的值。
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解题步骤 6.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
计算二阶导数。
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解题步骤 9.1
化简每一项。
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解题步骤 9.1.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 9.1.2
乘以
解题步骤 9.2
中减去
解题步骤 10
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 11
时的 y 值。
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解题步骤 11.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 11.2
化简结果。
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解题步骤 11.2.1
化简每一项。
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解题步骤 11.2.1.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 11.2.1.2
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 11.2.1.3
乘以
解题步骤 11.2.2
通过加上各数进行化简。
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解题步骤 11.2.2.1
相加。
解题步骤 11.2.2.2
相加。
解题步骤 11.2.3
最终答案为
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
计算二阶导数。
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解题步骤 13.1
化简每一项。
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解题步骤 13.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 13.1.2
乘以
解题步骤 13.2
中减去
解题步骤 14
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 15
时的 y 值。
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解题步骤 15.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 15.2
化简结果。
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解题步骤 15.2.1
化简每一项。
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解题步骤 15.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.3
乘以
解题步骤 15.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 15.2.2.1
中减去
解题步骤 15.2.2.2
相加。
解题步骤 15.2.3
最终答案为
解题步骤 16
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 17
计算二阶导数。
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解题步骤 17.1
化简每一项。
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解题步骤 17.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 17.1.2
乘以
解题步骤 17.2
中减去
解题步骤 18
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 19
时的 y 值。
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解题步骤 19.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 19.2
化简结果。
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解题步骤 19.2.1
化简每一项。
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解题步骤 19.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 19.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 19.2.1.3
乘以
解题步骤 19.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 19.2.2.1
中减去
解题步骤 19.2.2.2
相加。
解题步骤 19.2.3
最终答案为
解题步骤 20
这些是 的局部极值。
是一个局部最大值
是一个局部最小值
是一个局部最小值
解题步骤 21