微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 r(t)=t^4+6t^2-2 , [1,4]
,
解题步骤 1
求驻点。
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解题步骤 1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1.1
求微分。
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解题步骤 1.1.1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2
计算
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解题步骤 1.1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2.3
乘以
解题步骤 1.1.1.3
使用常数法则求导。
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解题步骤 1.1.1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.1.3.2
相加。
解题步骤 1.1.2
的一阶导数是
解题步骤 1.2
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 1.2.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 1.2.2
中分解出因数
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解题步骤 1.2.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.2.2.2
中分解出因数
解题步骤 1.2.2.3
中分解出因数
解题步骤 1.2.3
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于
解题步骤 1.2.4
设为等于
解题步骤 1.2.5
设为等于 并求解
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解题步骤 1.2.5.1
设为等于
解题步骤 1.2.5.2
求解
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解题步骤 1.2.5.2.1
从等式两边同时减去
解题步骤 1.2.5.2.2
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 1.2.5.2.3
化简
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解题步骤 1.2.5.2.3.1
重写为
解题步骤 1.2.5.2.3.2
重写为
解题步骤 1.2.5.2.3.3
重写为
解题步骤 1.2.5.2.4
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 1.2.5.2.4.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 1.2.5.2.4.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 1.2.5.2.4.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 1.2.6
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 1.3
求使导数无意义的值。
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解题步骤 1.3.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 1.4
对每个导数为 或无意义的 值,计算
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解题步骤 1.4.1
处计算
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解题步骤 1.4.1.1
代入 替换
解题步骤 1.4.1.2
化简。
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解题步骤 1.4.1.2.1
化简每一项。
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解题步骤 1.4.1.2.1.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 1.4.1.2.1.2
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 1.4.1.2.1.3
乘以
解题步骤 1.4.1.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 1.4.1.2.2.1
相加。
解题步骤 1.4.1.2.2.2
中减去
解题步骤 1.4.2
列出所有的点。
解题步骤 2
排除不在区间内的点。
解题步骤 3
计算闭区间端点处的值。
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解题步骤 3.1
处计算
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解题步骤 3.1.1
代入 替换
解题步骤 3.1.2
化简。
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解题步骤 3.1.2.1
化简每一项。
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解题步骤 3.1.2.1.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 3.1.2.1.2
一的任意次幂都为一。
解题步骤 3.1.2.1.3
乘以
解题步骤 3.1.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 3.1.2.2.1
相加。
解题步骤 3.1.2.2.2
中减去
解题步骤 3.2
处计算
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解题步骤 3.2.1
代入 替换
解题步骤 3.2.2
化简。
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解题步骤 3.2.2.1
化简每一项。
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解题步骤 3.2.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 3.2.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 3.2.2.1.3
乘以
解题步骤 3.2.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 3.2.2.2.1
相加。
解题步骤 3.2.2.2.2
中减去
解题步骤 3.3
列出所有的点。
解题步骤 4
将每个 的值对应所得的 的值进行比较,以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 时产生,而最小值在取最低值 时产生。
最大绝对值:
最小绝对值:
解题步骤 5