微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 x/(x^2+1)
解题步骤 1
求函数的一阶导数。
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解题步骤 1.1
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2
求微分。
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解题步骤 1.2.1
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2.2
乘以
解题步骤 1.2.3
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.2.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2.5
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.2.6
化简表达式。
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解题步骤 1.2.6.1
相加。
解题步骤 1.2.6.2
乘以
解题步骤 1.3
进行 次方运算。
解题步骤 1.4
进行 次方运算。
解题步骤 1.5
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.6
相加。
解题步骤 1.7
中减去
解题步骤 2
求函数的二阶导数。
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解题步骤 2.1
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2
求微分。
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解题步骤 2.2.1
中的指数相乘。
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解题步骤 2.2.1.1
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 2.2.1.2
乘以
解题步骤 2.2.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.2.3
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.5
乘以
解题步骤 2.2.6
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 2.2.7
相加。
解题步骤 2.3
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 2.3.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.3.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 2.4
求微分。
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解题步骤 2.4.1
乘以
解题步骤 2.4.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.4.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.4.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 2.4.5
化简表达式。
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解题步骤 2.4.5.1
相加。
解题步骤 2.4.5.2
移到 的左侧。
解题步骤 2.4.5.3
乘以
解题步骤 2.5
化简。
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解题步骤 2.5.1
运用分配律。
解题步骤 2.5.2
运用分配律。
解题步骤 2.5.3
化简分子。
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解题步骤 2.5.3.1
化简每一项。
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解题步骤 2.5.3.1.1
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 2.5.3.1.2
重写为
解题步骤 2.5.3.1.3
使用 FOIL 方法展开
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解题步骤 2.5.3.1.3.1
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.3.2
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.3.3
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.4
化简并合并同类项。
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解题步骤 2.5.3.1.4.1
化简每一项。
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解题步骤 2.5.3.1.4.1.1
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.1
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.2
相加。
解题步骤 2.5.3.1.4.1.2
乘以
解题步骤 2.5.3.1.4.1.3
乘以
解题步骤 2.5.3.1.4.1.4
乘以
解题步骤 2.5.3.1.4.2
相加。
解题步骤 2.5.3.1.5
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.6
化简。
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解题步骤 2.5.3.1.6.1
乘以
解题步骤 2.5.3.1.6.2
乘以
解题步骤 2.5.3.1.7
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.8
化简。
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解题步骤 2.5.3.1.8.1
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 2.5.3.1.8.1.1
移动
解题步骤 2.5.3.1.8.1.2
乘以
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解题步骤 2.5.3.1.8.1.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 2.5.3.1.8.1.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.8.1.3
相加。
解题步骤 2.5.3.1.8.2
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 2.5.3.1.8.2.1
移动
解题步骤 2.5.3.1.8.2.2
乘以
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解题步骤 2.5.3.1.8.2.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 2.5.3.1.8.2.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.8.2.3
相加。
解题步骤 2.5.3.1.9
化简每一项。
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解题步骤 2.5.3.1.9.1
乘以
解题步骤 2.5.3.1.9.2
乘以
解题步骤 2.5.3.1.10
化简每一项。
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解题步骤 2.5.3.1.10.1
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 2.5.3.1.10.1.1
乘以
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解题步骤 2.5.3.1.10.1.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 2.5.3.1.10.1.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.10.1.2
相加。
解题步骤 2.5.3.1.10.2
乘以
解题步骤 2.5.3.1.11
使用 FOIL 方法展开
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解题步骤 2.5.3.1.11.1
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.11.2
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.11.3
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.12
化简并合并同类项。
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解题步骤 2.5.3.1.12.1
化简每一项。
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解题步骤 2.5.3.1.12.1.1
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.1
移动
解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.3
相加。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.2
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.1
移动
解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.2
乘以
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解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.3
相加。
解题步骤 2.5.3.1.12.2
中减去
解题步骤 2.5.3.1.12.3
相加。
解题步骤 2.5.3.2
相加。
解题步骤 2.5.3.3
中减去
解题步骤 2.5.4
化简分子。
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解题步骤 2.5.4.1
中分解出因数
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解题步骤 2.5.4.1.1
中分解出因数
解题步骤 2.5.4.1.2
中分解出因数
解题步骤 2.5.4.1.3
中分解出因数
解题步骤 2.5.4.1.4
中分解出因数
解题步骤 2.5.4.1.5
中分解出因数
解题步骤 2.5.4.2
重写为
解题步骤 2.5.4.3
使 。用 代入替换所有出现的
解题步骤 2.5.4.4
使用 AC 法来对 进行因式分解。
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解题步骤 2.5.4.4.1
思考一下 这种形式。找出一对整数,其积为 ,且和为 。在本例中,其积即为 ,和为
解题步骤 2.5.4.4.2
使用这些整数书写分数形式。
解题步骤 2.5.4.5
使用 替换所有出现的
解题步骤 2.5.5
约去 的公因数。
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解题步骤 2.5.5.1
中分解出因数
解题步骤 2.5.5.2
约去公因数。
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解题步骤 2.5.5.2.1
中分解出因数
解题步骤 2.5.5.2.2
约去公因数。
解题步骤 2.5.5.2.3
重写表达式。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
求一阶导数。
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解题步骤 4.1
求一阶导数。
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解题步骤 4.1.1
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.2
求微分。
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解题步骤 4.1.2.1
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.2.2
乘以
解题步骤 4.1.2.3
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 4.1.2.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.2.5
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 4.1.2.6
化简表达式。
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解题步骤 4.1.2.6.1
相加。
解题步骤 4.1.2.6.2
乘以
解题步骤 4.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 4.1.4
进行 次方运算。
解题步骤 4.1.5
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.1.6
相加。
解题步骤 4.1.7
中减去
解题步骤 4.2
的一阶导数是
解题步骤 5
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 5.2
将分子设为等于零。
解题步骤 5.3
求解 的方程。
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解题步骤 5.3.1
从等式两边同时减去
解题步骤 5.3.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 5.3.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 5.3.2.2
化简左边。
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解题步骤 5.3.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 5.3.2.2.2
除以
解题步骤 5.3.2.3
化简右边。
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解题步骤 5.3.2.3.1
除以
解题步骤 5.3.3
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 5.3.4
的任意次方根都是
解题步骤 5.3.5
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 5.3.5.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 5.3.5.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 5.3.5.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 6
求使导数无意义的值。
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解题步骤 6.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
计算二阶导数。
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解题步骤 9.1
乘以
解题步骤 9.2
化简分母。
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解题步骤 9.2.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 9.2.2
相加。
解题步骤 9.2.3
进行 次方运算。
解题步骤 9.3
化简分子。
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解题步骤 9.3.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 9.3.2
中减去
解题步骤 9.4
通过约去公因数来化简表达式。
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解题步骤 9.4.1
乘以
解题步骤 9.4.2
约去 的公因数。
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解题步骤 9.4.2.1
中分解出因数
解题步骤 9.4.2.2
约去公因数。
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解题步骤 9.4.2.2.1
中分解出因数
解题步骤 9.4.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 9.4.2.2.3
重写表达式。
解题步骤 9.4.3
将负号移到分数的前面。
解题步骤 10
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 11
时的 y 值。
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解题步骤 11.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 11.2
化简结果。
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解题步骤 11.2.1
化简分母。
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解题步骤 11.2.1.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 11.2.1.2
相加。
解题步骤 11.2.2
最终答案为
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
计算二阶导数。
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解题步骤 13.1
乘以
解题步骤 13.2
化简分母。
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解题步骤 13.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 13.2.2
相加。
解题步骤 13.2.3
进行 次方运算。
解题步骤 13.3
化简分子。
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解题步骤 13.3.1
进行 次方运算。
解题步骤 13.3.2
中减去
解题步骤 13.4
通过约去公因数来化简表达式。
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解题步骤 13.4.1
乘以
解题步骤 13.4.2
约去 的公因数。
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解题步骤 13.4.2.1
中分解出因数
解题步骤 13.4.2.2
约去公因数。
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解题步骤 13.4.2.2.1
中分解出因数
解题步骤 13.4.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 13.4.2.2.3
重写表达式。
解题步骤 14
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 15
时的 y 值。
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解题步骤 15.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 15.2
化简结果。
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解题步骤 15.2.1
化简分母。
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解题步骤 15.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.2
相加。
解题步骤 15.2.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 15.2.3
最终答案为
解题步骤 16
这些是 的局部极值。
是一个局部最大值
是一个局部最小值
解题步骤 17