微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 f(x)=x/(x^2+9) on -5 , 5
on ,
解题步骤 1
求驻点。
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解题步骤 1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1.1
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2
求微分。
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解题步骤 1.1.1.2.1
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2.2
乘以
解题步骤 1.1.1.2.3
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.2.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2.5
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.1.2.6
化简表达式。
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解题步骤 1.1.1.2.6.1
相加。
解题步骤 1.1.1.2.6.2
乘以
解题步骤 1.1.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.4
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.5
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.1.1.6
相加。
解题步骤 1.1.1.7
中减去
解题步骤 1.1.2
的一阶导数是
解题步骤 1.2
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 1.2.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 1.2.2
将分子设为等于零。
解题步骤 1.2.3
求解 的方程。
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解题步骤 1.2.3.1
从等式两边同时减去
解题步骤 1.2.3.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 1.2.3.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 1.2.3.2.2
化简左边。
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解题步骤 1.2.3.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 1.2.3.2.2.2
除以
解题步骤 1.2.3.2.3
化简右边。
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解题步骤 1.2.3.2.3.1
除以
解题步骤 1.2.3.3
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 1.2.3.4
化简
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解题步骤 1.2.3.4.1
重写为
解题步骤 1.2.3.4.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 1.2.3.5
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 1.2.3.5.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 1.2.3.5.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 1.2.3.5.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 1.3
求使导数无意义的值。
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解题步骤 1.3.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 1.4
对每个导数为 或无意义的 值,计算
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解题步骤 1.4.1
处计算
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解题步骤 1.4.1.1
代入 替换
解题步骤 1.4.1.2
化简。
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解题步骤 1.4.1.2.1
化简分母。
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解题步骤 1.4.1.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.1.2.1.2
相加。
解题步骤 1.4.1.2.2
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.2.2
约去公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.2.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.2.2.3
重写表达式。
解题步骤 1.4.2
处计算
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解题步骤 1.4.2.1
代入 替换
解题步骤 1.4.2.2
化简。
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解题步骤 1.4.2.2.1
化简分母。
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解题步骤 1.4.2.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.2.2.1.2
相加。
解题步骤 1.4.2.2.2
通过约去公因数来化简表达式。
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解题步骤 1.4.2.2.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.2.2.2.1.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.2.2.2.1.2
约去公因数。
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解题步骤 1.4.2.2.2.1.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.2.2.2.1.2.2
约去公因数。
解题步骤 1.4.2.2.2.1.2.3
重写表达式。
解题步骤 1.4.2.2.2.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.4.3
列出所有的点。
解题步骤 2
计算闭区间端点处的值。
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解题步骤 2.1
处计算
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解题步骤 2.1.1
代入 替换
解题步骤 2.1.2
化简。
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解题步骤 2.1.2.1
化简分母。
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解题步骤 2.1.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 2.1.2.1.2
相加。
解题步骤 2.1.2.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2.2
处计算
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解题步骤 2.2.1
代入 替换
解题步骤 2.2.2
化简分母。
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解题步骤 2.2.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 2.2.2.2
相加。
解题步骤 2.3
列出所有的点。
解题步骤 3
将每个 的值对应所得的 的值进行比较,以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 时产生,而最小值在取最低值 时产生。
最大绝对值:
最小绝对值:
解题步骤 4