微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 y=3x^(2/3)-2x
解题步骤 1
求函数的一阶导数。
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解题步骤 1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.2
计算
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解题步骤 1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2.3
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.2.4
组合
解题步骤 1.2.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.2.6
化简分子。
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解题步骤 1.2.6.1
乘以
解题步骤 1.2.6.2
中减去
解题步骤 1.2.7
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.2.8
组合
解题步骤 1.2.9
组合
解题步骤 1.2.10
乘以
解题步骤 1.2.11
使用负指数规则 移动到分母。
解题步骤 1.2.12
中分解出因数
解题步骤 1.2.13
约去公因数。
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解题步骤 1.2.13.1
中分解出因数
解题步骤 1.2.13.2
约去公因数。
解题步骤 1.2.13.3
重写表达式。
解题步骤 1.3
计算
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解题步骤 1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.3.3
乘以
解题步骤 2
求函数的二阶导数。
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解题步骤 2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.2
计算
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解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.2
重写为
解题步骤 2.2.3
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 2.2.3.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 2.2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.3.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 2.2.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.5
中的指数相乘。
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解题步骤 2.2.5.1
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 2.2.5.2
组合
解题步骤 2.2.5.3
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2.2.6
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 2.2.7
组合
解题步骤 2.2.8
在公分母上合并分子。
解题步骤 2.2.9
化简分子。
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解题步骤 2.2.9.1
乘以
解题步骤 2.2.9.2
中减去
解题步骤 2.2.10
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2.2.11
组合
解题步骤 2.2.12
组合
解题步骤 2.2.13
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 2.2.13.1
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.2.13.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 2.2.13.3
中减去
解题步骤 2.2.13.4
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2.2.14
使用负指数规则 移动到分母。
解题步骤 2.2.15
乘以
解题步骤 2.2.16
组合
解题步骤 2.2.17
将负号移到分数的前面。
解题步骤 2.3
使用常数法则求导。
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解题步骤 2.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 2.3.2
相加。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
求一阶导数。
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解题步骤 4.1
求一阶导数。
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解题步骤 4.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 4.1.2
计算
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解题步骤 4.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.2.3
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 4.1.2.4
组合
解题步骤 4.1.2.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 4.1.2.6
化简分子。
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解题步骤 4.1.2.6.1
乘以
解题步骤 4.1.2.6.2
中减去
解题步骤 4.1.2.7
将负号移到分数的前面。
解题步骤 4.1.2.8
组合
解题步骤 4.1.2.9
组合
解题步骤 4.1.2.10
乘以
解题步骤 4.1.2.11
使用负指数规则 移动到分母。
解题步骤 4.1.2.12
中分解出因数
解题步骤 4.1.2.13
约去公因数。
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解题步骤 4.1.2.13.1
中分解出因数
解题步骤 4.1.2.13.2
约去公因数。
解题步骤 4.1.2.13.3
重写表达式。
解题步骤 4.1.3
计算
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解题步骤 4.1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.3.3
乘以
解题步骤 4.2
的一阶导数是
解题步骤 5
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 5.2
在等式两边都加上
解题步骤 5.3
求方程中各项的最小公分母 (LCD)。
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解题步骤 5.3.1
求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。
解题步骤 5.3.2
1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。
解题步骤 5.4
中的每一项乘以 以消去分数。
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解题步骤 5.4.1
中的每一项乘以
解题步骤 5.4.2
化简左边。
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解题步骤 5.4.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 5.4.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 5.4.2.1.2
重写表达式。
解题步骤 5.5
求解方程。
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解题步骤 5.5.1
将方程重写为
解题步骤 5.5.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 5.5.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 5.5.2.2
化简左边。
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解题步骤 5.5.2.2.1
约去公因数。
解题步骤 5.5.2.2.2
除以
解题步骤 5.5.2.3
化简右边。
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解题步骤 5.5.2.3.1
除以
解题步骤 5.5.3
将方程两边同时进行 次方运算以消去左边的分数指数。
解题步骤 5.5.4
化简指数。
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解题步骤 5.5.4.1
化简左边。
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解题步骤 5.5.4.1.1
化简
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解题步骤 5.5.4.1.1.1
中的指数相乘。
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解题步骤 5.5.4.1.1.1.1
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 5.5.4.1.1.1.2
约去 的公因数。
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解题步骤 5.5.4.1.1.1.2.1
约去公因数。
解题步骤 5.5.4.1.1.1.2.2
重写表达式。
解题步骤 5.5.4.1.1.2
化简。
解题步骤 5.5.4.2
化简右边。
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解题步骤 5.5.4.2.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 6
求使导数无意义的值。
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解题步骤 6.1
将分数指数表达式转化为根式。
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解题步骤 6.1.1
应用法则 将乘幂重写成根数。
解题步骤 6.1.2
任何指数为 的幂均为底数本身。
解题步骤 6.2
的分母设为等于 ,以求使表达式无意义的区间。
解题步骤 6.3
求解
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解题步骤 6.3.1
要去掉方程左边的根式,请对方程两边进行立方。
解题步骤 6.3.2
化简方程的两边。
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解题步骤 6.3.2.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 6.3.2.2
化简左边。
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解题步骤 6.3.2.2.1
化简
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解题步骤 6.3.2.2.1.1
中的指数相乘。
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解题步骤 6.3.2.2.1.1.1
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 6.3.2.2.1.1.2
约去 的公因数。
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解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.1
约去公因数。
解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.2
重写表达式。
解题步骤 6.3.2.2.1.2
化简。
解题步骤 6.3.2.3
化简右边。
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解题步骤 6.3.2.3.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
计算二阶导数。
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解题步骤 9.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 9.2
乘以
解题步骤 10
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 11
时的 y 值。
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解题步骤 11.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 11.2
化简结果。
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解题步骤 11.2.1
化简每一项。
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解题步骤 11.2.1.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 11.2.1.2
乘以
解题步骤 11.2.1.3
乘以
解题步骤 11.2.2
中减去
解题步骤 11.2.3
最终答案为
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
计算二阶导数。
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解题步骤 13.1
化简表达式。
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解题步骤 13.1.1
重写为
解题步骤 13.1.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 13.2
约去 的公因数。
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解题步骤 13.2.1
约去公因数。
解题步骤 13.2.2
重写表达式。
解题步骤 13.3
化简表达式。
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解题步骤 13.3.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 13.3.2
乘以
解题步骤 13.3.3
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
解题步骤 13.4
该表达式包含分母 。该表达式无定义。
无定义
无定义
解题步骤 14
因为至少有一个点是 或使二阶导数无意义,所以使用一阶导数判别法。
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解题步骤 14.1
根据使一阶导数为 或无意义的 值,将 分割为不同的区间。
解题步骤 14.2
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
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解题步骤 14.2.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 14.2.2
最终答案为
解题步骤 14.3
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
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解题步骤 14.3.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 14.3.2
化简结果。
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解题步骤 14.3.2.1
化简每一项。
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解题步骤 14.3.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 14.3.2.1.2
除以
解题步骤 14.3.2.2
中减去
解题步骤 14.3.2.3
最终答案为
解题步骤 14.4
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
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解题步骤 14.4.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 14.4.2
化简结果。
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解题步骤 14.4.2.1
去掉圆括号。
解题步骤 14.4.2.2
最终答案为
解题步骤 14.5
由于一阶导数在 周围从负号变为正号,因此 是极小值。
是一个极小值
解题步骤 14.6
由于一阶导数在 周围从正号变为负号,因此 是极大值。
是一个极大值
解题步骤 14.7
这些是 的局部极值。
是一个极小值
是一个极大值
是一个极小值
是一个极大值
解题步骤 15