微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 y=sin(x)cos(x) , 0<=x<=pi
,
解题步骤 1
求驻点。
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解题步骤 1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1.1
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2
的导数为
解题步骤 1.1.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.4
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.5
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.1.1.6
相加。
解题步骤 1.1.1.7
的导数为
解题步骤 1.1.1.8
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.9
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.10
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.1.1.11
相加。
解题步骤 1.1.1.12
化简。
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解题步骤 1.1.1.12.1
重新排序。
解题步骤 1.1.1.12.2
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 进行因式分解,其中
解题步骤 1.1.1.12.3
使用 FOIL 方法展开
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解题步骤 1.1.1.12.3.1
运用分配律。
解题步骤 1.1.1.12.3.2
运用分配律。
解题步骤 1.1.1.12.3.3
运用分配律。
解题步骤 1.1.1.12.4
合并 中相反的项。
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解题步骤 1.1.1.12.4.1
按照 重新排列因数。
解题步骤 1.1.1.12.4.2
相加。
解题步骤 1.1.1.12.4.3
相加。
解题步骤 1.1.1.12.5
化简每一项。
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解题步骤 1.1.1.12.5.1
乘以
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解题步骤 1.1.1.12.5.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.12.5.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.12.5.1.3
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.1.1.12.5.1.4
相加。
解题步骤 1.1.1.12.5.2
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 1.1.1.12.5.3
乘以
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解题步骤 1.1.1.12.5.3.1
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.12.5.3.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.1.12.5.3.3
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.1.1.12.5.3.4
相加。
解题步骤 1.1.1.12.6
使用余弦倍角公式。
解题步骤 1.1.2
的一阶导数是
解题步骤 1.2
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 1.2.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 1.2.2
取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的
解题步骤 1.2.3
化简右边。
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解题步骤 1.2.3.1
的准确值为
解题步骤 1.2.4
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 1.2.4.1
中的每一项都除以
解题步骤 1.2.4.2
化简左边。
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解题步骤 1.2.4.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.4.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.4.2.1.2
除以
解题步骤 1.2.4.3
化简右边。
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解题步骤 1.2.4.3.1
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 1.2.4.3.2
乘以
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解题步骤 1.2.4.3.2.1
乘以
解题步骤 1.2.4.3.2.2
乘以
解题步骤 1.2.5
余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解,从 中减去参考角即可求出第四象限中的解。
解题步骤 1.2.6
求解
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解题步骤 1.2.6.1
化简。
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解题步骤 1.2.6.1.1
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.2.6.1.2
组合
解题步骤 1.2.6.1.3
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.2.6.1.4
乘以
解题步骤 1.2.6.1.5
中减去
解题步骤 1.2.6.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 1.2.6.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 1.2.6.2.2
化简左边。
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解题步骤 1.2.6.2.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.6.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.6.2.2.1.2
除以
解题步骤 1.2.6.2.3
化简右边。
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解题步骤 1.2.6.2.3.1
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 1.2.6.2.3.2
乘以
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解题步骤 1.2.6.2.3.2.1
乘以
解题步骤 1.2.6.2.3.2.2
乘以
解题步骤 1.2.7
的周期。
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解题步骤 1.2.7.1
函数的周期可利用 进行计算。
解题步骤 1.2.7.2
使用周期公式中的 替换
解题步骤 1.2.7.3
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 1.2.7.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.7.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.7.4.2
除以
解题步骤 1.2.8
函数的周期为 ,所以函数值在两个方向上每隔 弧度将重复出现。
,对于任意整数
解题步骤 1.2.9
合并答案。
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 1.3
求使导数无意义的值。
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解题步骤 1.3.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 1.4
对每个导数为 或无意义的 值,计算
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解题步骤 1.4.1
处计算
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解题步骤 1.4.1.1
代入 替换
解题步骤 1.4.1.2
化简。
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解题步骤 1.4.1.2.1
的准确值为
解题步骤 1.4.1.2.2
的准确值为
解题步骤 1.4.1.2.3
乘以
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解题步骤 1.4.1.2.3.1
乘以
解题步骤 1.4.1.2.3.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.1.2.3.3
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.1.2.3.4
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.4.1.2.3.5
相加。
解题步骤 1.4.1.2.3.6
乘以
解题步骤 1.4.1.2.4
重写为
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解题步骤 1.4.1.2.4.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.4.1.2.4.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.4.1.2.4.3
组合
解题步骤 1.4.1.2.4.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.4.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.4.4.2
重写表达式。
解题步骤 1.4.1.2.4.5
计算指数。
解题步骤 1.4.1.2.5
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.5.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.5.2
约去公因数。
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解题步骤 1.4.1.2.5.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.1.2.5.2.2
约去公因数。
解题步骤 1.4.1.2.5.2.3
重写表达式。
解题步骤 1.4.2
处计算
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解题步骤 1.4.2.1
代入 替换
解题步骤 1.4.2.2
化简。
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解题步骤 1.4.2.2.1
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。
解题步骤 1.4.2.2.2
的准确值为
解题步骤 1.4.2.2.3
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 1.4.2.2.4
的准确值为
解题步骤 1.4.2.2.5
乘以
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解题步骤 1.4.2.2.5.1
乘以
解题步骤 1.4.2.2.5.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.2.2.5.3
进行 次方运算。
解题步骤 1.4.2.2.5.4
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.4.2.2.5.5
相加。
解题步骤 1.4.2.2.5.6
乘以
解题步骤 1.4.2.2.6
重写为
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解题步骤 1.4.2.2.6.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.4.2.2.6.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.4.2.2.6.3
组合
解题步骤 1.4.2.2.6.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.2.2.6.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.4.2.2.6.4.2
重写表达式。
解题步骤 1.4.2.2.6.5
计算指数。
解题步骤 1.4.2.2.7
约去 的公因数。
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解题步骤 1.4.2.2.7.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.2.2.7.2
约去公因数。
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解题步骤 1.4.2.2.7.2.1
中分解出因数
解题步骤 1.4.2.2.7.2.2
约去公因数。
解题步骤 1.4.2.2.7.2.3
重写表达式。
解题步骤 1.4.3
列出所有的点。
,对于任意整数
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 2
排除不在区间内的点。
解题步骤 3
计算闭区间端点处的值。
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解题步骤 3.1
处计算
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解题步骤 3.1.1
代入 替换
解题步骤 3.1.2
化简。
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解题步骤 3.1.2.1
的准确值为
解题步骤 3.1.2.2
的准确值为
解题步骤 3.1.2.3
乘以
解题步骤 3.2
处计算
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解题步骤 3.2.1
代入 替换
解题步骤 3.2.2
化简。
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解题步骤 3.2.2.1
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。
解题步骤 3.2.2.2
的准确值为
解题步骤 3.2.2.3
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 3.2.2.4
的准确值为
解题步骤 3.2.2.5
乘以
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解题步骤 3.2.2.5.1
乘以
解题步骤 3.2.2.5.2
乘以
解题步骤 3.3
列出所有的点。
解题步骤 4
将每个 的值对应所得的 的值进行比较,以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 时产生,而最小值在取最低值 时产生。
最大绝对值:
最小绝对值:
解题步骤 5