微积分学 示例

求区间上的绝对最大值与绝对最小值 f(x)=cos(x)
解题步骤 1
的导数为
解题步骤 2
求函数的二阶导数。
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解题步骤 2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2
的导数为
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 4.1
中的每一项都除以
解题步骤 4.2
化简左边。
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解题步骤 4.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 4.2.2
除以
解题步骤 4.3
化简右边。
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解题步骤 4.3.1
除以
解题步骤 5
取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的
解题步骤 6
化简右边。
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解题步骤 6.1
的准确值为
解题步骤 7
正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解,可从 减去参考角以求第二象限中的解。
解题步骤 8
中减去
解题步骤 9
方程 的解。
解题步骤 10
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 11
计算二阶导数。
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解题步骤 11.1
的准确值为
解题步骤 11.2
乘以
解题步骤 12
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 13
时的 y 值。
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解题步骤 13.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 13.2
化简结果。
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解题步骤 13.2.1
的准确值为
解题步骤 13.2.2
最终答案为
解题步骤 14
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 15
计算二阶导数。
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解题步骤 15.1
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 15.2
的准确值为
解题步骤 15.3
乘以
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解题步骤 15.3.1
乘以
解题步骤 15.3.2
乘以
解题步骤 16
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 17
时的 y 值。
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解题步骤 17.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 17.2
化简结果。
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解题步骤 17.2.1
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 17.2.2
的准确值为
解题步骤 17.2.3
乘以
解题步骤 17.2.4
最终答案为
解题步骤 18
这些是 的局部极值。
是一个局部最大值
是一个局部最小值
解题步骤 19