微积分学示例

$f (x) = - 2 - \cos (x)$ at $x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 1

求 $x = - \frac{π}{4}$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $- \frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$y = - 2 - \cos (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 1.2.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$y = - 2 - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = - \frac{π}{4}$ 和 $y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $- 2 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 2.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - - \sin (x)$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 \sin (x)$

解题步骤 2.2.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$0 + \sin (x)$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\sin (x)$

解题步骤 2.4

计算在 $x = - \frac{π}{4}$ 处的导数。

$\sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 2.5.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.5.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 和给定点 $(- \frac{π}{4}, - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3.1.5

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.3.4

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.3.5

要将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 3.3.3.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 3.3.3.6.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.3.6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

解题步骤 3.3.3.7

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

解题步骤 3.3.3.8

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.3.9

从 $- π \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.3.10

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 1 (16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.3.11

从 $- (π \sqrt{2}) - 1 (16)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.3.12

从 $- 4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 3.3.3.13

从 $- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 3.3.3.14

将 $- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ 重写为 $- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 3.3.3.15

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.3.16

重新排序项。

$y = - (\frac{\sqrt{2}}{2} x) - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.3.17

去掉圆括号。

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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