微积分学示例

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 x y^{2}$ ; $(2, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 x y^{2})$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 1.2.3

求微分。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 1.2.3.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 1.2.6

化简。

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解题步骤 1.2.6.1

运用分配律。

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 1.2.6.2

重新排序 $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ 的因式。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $25 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

$25 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$25 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$25 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$25 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$25 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$25 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$25 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$25 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

解题步骤 1.3.7

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$25 (2 x y y' + y^{2})$

解题步骤 1.3.8

化简。

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解题步骤 1.3.8.1

运用分配律。

$25 (2 x y y') + 25 y^{2}$

解题步骤 1.3.8.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$50 x y y' + 25 y^{2}$

解题步骤 1.3.8.3

重新排序项。

$25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

化简 $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

重写。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ 。

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解题步骤 1.5.1.3.1

运用分配律。

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.3.2

运用分配律。

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.3.3

运用分配律。

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.7.1

移动 $y^{2}$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.7.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.7.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.8

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = 25 y^{2} + 50 x y y'$

解题步骤 1.5.2

从等式两边同时减去 $50 x y y'$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2}$

解题步骤 1.5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.5.3.1

从等式两边同时减去 $8 x^{3}$ 。

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3}$

解题步骤 1.5.3.2

从等式两边同时减去 $8 x y^{2}$ 。

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4

从 $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

从 $8 y y' x^{2}$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4.2

从 $8 y^{3} y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4.3

从 $- 50 x y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4.4

从 $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4.5

从 $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x)$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 1.5.5

将 $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ 中的每一项除以 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ 并化简。

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解题步骤 1.5.5.1

将 $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ 中的每一项都除以 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ 。

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.2.3

约去 $4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.3.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.5.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1.1

从 $25 y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (25 y)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1.2.1

从 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (25 y)}{y (2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{y (25 y)}{y (2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.2.1

从 $- 8 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.2.2.1

从 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.4

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.4.1

从 $- 8 x y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.4.2.1

从 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))}$

解题步骤 1.5.5.3.1.4.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))}$

解题步骤 1.5.5.3.1.4.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.5

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.5.1

从 $- 4 x y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.5.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.5.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$

解题步骤 1.5.5.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$

解题步骤 1.5.5.3.2

要将 $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.5.5.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ 的形式。

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解题步骤 1.5.5.3.3.1

将 $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y \cdot 2}{(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2}$

解题步骤 1.5.5.3.3.2

重新排序 $(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ 的因式。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y - 4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.5.3.5.1

从 $25 y - 4 x y \cdot 2$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.5.1.1

从 $25 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y \cdot 25 - 4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.5.1.2

从 $- 4 x y \cdot 2$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y \cdot 25 + y (- 4 x \cdot 2)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.5.1.3

从 $y \cdot 25 + y (- 4 x \cdot 2)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 4 x \cdot 2)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.6

要将 $- \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.7

要将 $\frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{y}{y}$

解题步骤 1.5.5.3.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ 的形式。

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解题步骤 1.5.5.3.8.1

将 $\frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{y}{y}$

解题步骤 1.5.5.3.8.2

将 $\frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y}$

解题步骤 1.5.5.3.8.3

重新排序 $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ 的因式。

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y}$

解题步骤 1.5.5.3.8.4

重新排序 $2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y$ 的因式。

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.9

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 4 x^{3} \cdot 2 + y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.10

化简分子。

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解题步骤 1.5.5.3.10.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.10.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.10.2.1

移动 $y$ 。

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y \cdot y (25 - 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.10.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y^{2} (25 - 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.10.3

运用分配律。

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y^{2} \cdot 25 + y^{2} (- 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.10.4

将 $25$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$y' = \frac{- 8 x^{3} + 25 \cdot y^{2} + y^{2} (- 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.10.5

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{- 8 x^{3} + 25 y^{2} - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.11

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.5.5.3.11.1

从 $- 8 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (8 x^{3}) + 25 y^{2} - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.11.2

从 $25 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (8 x^{3}) - (- 25 y^{2}) - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.11.3

从 $- (8 x^{3}) - (- 25 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.11.4

从 $- 8 y^{2} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - (8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.11.5

从 $- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - (8 y^{2} x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.11.6

化简表达式。

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解题步骤 1.5.5.3.11.6.1

将 $- (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)$ 重写为 $- 1 (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)$ 。

$y' = \frac{- 1 (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.11.6.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 2$ 和 $y = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{8 {(2)}^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} (2)}{2 y (4 {(2)}^{2} + 4 y^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{8 {(2)}^{3} - 25 {(1)}^{2} + 8 {(1)}^{2} (2)}{2 (1) (4 {(2)}^{2} + 4 {(1)}^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3

化简分子。

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解题步骤 1.7.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{8 \cdot 8 - 25 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{64 - 25 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{64 - 25 \cdot 1 + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.4

将 $- 25$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.5

一的任意次幂都为一。

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 1 \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.6

乘以 $8 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.7.3.6.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.6.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{64 - 25 + 16}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.7

从 $64$ 中减去 $25$ 。

$- \frac{39 + 16}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.8

将 $39$ 和 $16$ 相加。

$- \frac{55}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{55}{2 (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.5

化简分母。

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解题步骤 1.7.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{55}{2 (4 \cdot 4 + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.5.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{55}{2 (16 + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.5.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{55}{2 (16 + 4 \cdot 1 - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.5.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{55}{2 (16 + 4 - 25 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.5.5

将 $- 25$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{55}{2 (16 + 4 - 50)}$

解题步骤 1.7.5.6

将 $16$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{55}{2 (20 - 50)}$

解题步骤 1.7.5.7

从 $20$ 中减去 $50$ 。

$- \frac{55}{2 \cdot - 30}$

解题步骤 1.7.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.7.6.1

将 $2$ 乘以 $- 30$ 。

$- \frac{55}{- 60}$

解题步骤 1.7.6.2

约去 $55$ 和 $- 60$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.6.2.1

从 $55$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{5 (11)}{- 60}$

解题步骤 1.7.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.6.2.2.1

从 $- 60$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{5 \cdot 11}{5 \cdot - 12}$

解题步骤 1.7.6.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{5 \cdot 11}{5 \cdot - 12}$

解题步骤 1.7.6.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{11}{- 12}$

解题步骤 1.7.6.3

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{11}{12}$

解题步骤 1.7.7

乘以 $- - \frac{11}{12}$ 。

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解题步骤 1.7.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{11}{12})$

解题步骤 1.7.7.2

将 $\frac{11}{12}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{11}{12}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{11}{12}$ 和给定点 $(2, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = \frac{11}{12} \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{11}{12} \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = \frac{11}{12} x + \frac{11}{12} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{11}{12}$ 和 $x$ 。

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{12} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 (6)} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{6} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.6

组合 $\frac{11}{6}$ 和 $- 1$ 。

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11 \cdot - 1}{6}$

解题步骤 2.3.1.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.7.1

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{- 11}{6}$

解题步骤 2.3.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$y - 1 = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6} + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6} + \frac{6}{6}$

解题步骤 2.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{11 x}{12} + \frac{- 11 + 6}{6}$

解题步骤 2.3.2.4

将 $- 11$ 和 $6$ 相加。

$y = \frac{11 x}{12} + \frac{- 5}{6}$

解题步骤 2.3.2.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{5}{6}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{11}{12} x - \frac{5}{6}$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例