微积分学示例

$f (x) = 2 x^{2} - 1$ ; $x = 0$

解题步骤 1

求 $x = 0$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{2} - 1$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

解题步骤 1.2.3

化简 $2 {(0)}^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 2 \cdot 0 - 1$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 - 1$

解题步骤 1.2.3.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = - 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$4 (0)$

解题步骤 2.5

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $0$ 和给定点 $(0, - 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 1) = 0 \cdot (x - (0))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 1 = 0 \cdot (x + 0)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $0 \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y + 1 = 0 \cdot x$

解题步骤 3.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$y + 1 = 0$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 4

微积分学 示例

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