微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{x}$ at $(8, \frac{3}{8})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 8$ 和 $y = \frac{3}{8}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 x^{- 2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.5.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

计算在 $x = 8$ 处的导数。

$- \frac{3}{{(8)}^{2}}$

解题步骤 1.7

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{3}{64}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{3}{64}$ 和给定点 $(8, \frac{3}{8})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{3}{8}) = - \frac{3}{64} \cdot (x - (8))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{3}{64} \cdot (x - 8)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{3}{64} \cdot (x - 8)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{3}{8} = 0 + 0 - \frac{3}{64} \cdot (x - 8)$

解题步骤 2.3.1.2

化简项。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{3}{64} x - \frac{3}{64} \cdot - 8$

解题步骤 2.3.1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{64}$ 。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} - \frac{3}{64} \cdot - 8$

解题步骤 2.3.1.2.3

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.3.1

将 $- \frac{3}{64}$ 中前置负号移到分子中。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{64} \cdot - 8$

解题步骤 2.3.1.2.3.2

从 $64$ 中分解出因数 $8$ 。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 (8)} \cdot - 8$

解题步骤 2.3.1.2.3.3

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 \cdot 8} \cdot (8 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.2.3.4

约去公因数。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 \cdot 8} \cdot (8 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.2.3.5

重写表达式。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.2.4

组合 $\frac{- 3}{8}$ 和 $- 1$ 。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3 \cdot - 1}{8}$

解题步骤 2.3.1.2.5

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{3}{8}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - \frac{3}{8} = - \frac{3 x}{64} + \frac{3}{8}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{3}{8}$ 。

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8}$

解题步骤 2.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 3 x}{64} + \frac{3 + 3}{8}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$y = \frac{- 3 x}{64} + \frac{6}{8}$

解题步骤 2.3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.4.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{6}{8}$

解题步骤 2.3.2.4.2

约去 $6$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 (3)}{8}$

解题步骤 2.3.2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.4.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.2.4.2.2.2

约去公因数。

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.2.4.2.2.3

重写表达式。

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{3}{4}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{3}{64} x) + \frac{3}{4}$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{3}{64} x + \frac{3}{4}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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