微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x - 5}$ , $(4, - 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = - 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{x - 5}$ 重写为 ${(x - 5)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 5$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$- {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

解题步骤 1.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- {(x - 5)}^{- 2}$

解题步骤 1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$- \frac{1}{{((4) - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简分母。

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解题步骤 1.6.1.1

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 1.6.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.6.2.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 1.6.2.1.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 1$ 和给定点 $(4, - 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 1) = - 1 \cdot (x - (4))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 1 \cdot (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 1 = - 1 x - 1 \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y + 1 = - x - 1 \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y + 1 = - x + 4$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = - x + 4 - 1$

解题步骤 2.3.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$y = - x + 3$

解题步骤 3

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