微积分学示例

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

将 ${(5 x + 1)}^{2}$ 重写为 $(5 x + 1) (5 x + 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(5 x + 1) (5 x + 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 1.3.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 1.3.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 1.3.1.5

将 $5 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

解题步骤 1.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

解题步骤 1.3.2

将 $5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

解题步骤 1.4

根据加法法则， $25 x^{2} + 10 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.5

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.7

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.8

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.10

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$50 x + 10 + 0$

解题步骤 1.12

将 $50 x + 10$ 和 $0$ 相加。

$50 x + 10$

解题步骤 1.13

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$50 (0) + 10$

解题步骤 1.14

化简。

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解题步骤 1.14.1

将 $50$ 乘以 $0$ 。

$0 + 10$

解题步骤 1.14.2

将 $0$ 和 $10$ 相加。

$10$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $10$ 和给定点 $(0, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 1 = 10 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 10 x + 1$

解题步骤 3

微积分学 示例

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