微积分学示例

$f (x) = - x^{2} + 2 x - 2$ at $(0, - 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = - 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{2} + 2 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 x + 2 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $- 2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x + 2$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$- 2 \cdot 0 + 2$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$0 + 2$

解题步骤 1.6.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $2$ 和给定点 $(0, - 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 2) = 2 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 2 = 2 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y + 2 = 2 x$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = 2 x - 2$

解题步骤 3

微积分学 示例

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