微积分学示例

$y = \ln (x^{2} - 5 x + 1)$ , $(5, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 5$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} - 5 x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 5 x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} - 5 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.5

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5 + 0)$

解题步骤 1.2.7

将 $2 x - 5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

重新排序 $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1} (2 x - 5)$ 的因式。

$(2 x - 5) \frac{1}{x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $2 x - 5$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 1}$ 。

$\frac{2 x - 5}{x^{2} - 5 x + 1}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 5$ 处的导数。

$\frac{2 (5) - 5}{{(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 1}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10 - 5}{5^{2} - 5 \cdot 5 + 1}$

解题步骤 1.5.1.2

从 $10$ 中减去 $5$ 。

$\frac{5}{5^{2} - 5 \cdot 5 + 1}$

解题步骤 1.5.2

化简分母。

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解题步骤 1.5.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5}{25 - 5 \cdot 5 + 1}$

解题步骤 1.5.2.2

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5}{25 - 25 + 1}$

解题步骤 1.5.2.3

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$\frac{5}{0 + 1}$

解题步骤 1.5.2.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{1}$

解题步骤 1.5.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $5$ 和给定点 $(5, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 5 \cdot (x - (5))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 5 \cdot (x - 5)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 5 \cdot (x - 5)$

解题步骤 2.3.2

化简 $5 \cdot (x - 5)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$y = 5 x + 5 \cdot - 5$

解题步骤 2.3.2.2

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$y = 5 x - 25$

解题步骤 3

微积分学 示例

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