微积分学示例

$\int (x^{2} + x) \sqrt[3]{x + 7} d x$

解题步骤 1

使 $u = x + 7$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x + 7$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 7$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3

展开 $({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 ${(u - 7)}^{2}$ 重写为 $(u - 7) (u - 7)$ 。

$\int ((u - 7) (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int (u (u - 7) - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u) u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.7

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.8

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.9

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.10

将 $u$ 和 $- 7$ 重新排序。

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.11

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.12

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{2} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{2 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.16

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int u^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.17

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.18

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.19

化简分子。

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解题步骤 3.19.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int u^{\frac{6 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.19.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.20

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.22

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.23

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.24

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.25

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.26

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.27

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.28

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.29

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.30

将 $- 7$ 乘以 $- 7$ 。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.31

从 $- 7 u^{\frac{4}{3}}$ 中减去 $7 u^{\frac{4}{3}}$ 。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.32

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.33

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.34

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.35

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.36

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.37

将 $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ 和 $49 u^{\frac{1}{3}}$ 重新排序。

$\int u^{\frac{7}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.38

将 $u^{\frac{7}{3}}$ 和 $49 u^{\frac{1}{3}}$ 重新排序。

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.39

移动 $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ 。

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3.40

移动 $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ 。

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $49 u^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $7 u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

解题步骤 4.2

从 $u^{\frac{4}{3}}$ 中减去 $14 u^{\frac{4}{3}}$ 。

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

解题步骤 6

由于 $42$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $42$ 移到积分外。

$42 \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{\frac{7}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}}$ 。

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

解题步骤 9

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $u^{\frac{4}{3}}$ 。

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

解题步骤 10

由于 $- 13$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 13$ 移到积分外。

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 \int u^{\frac{4}{3}} d u$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{\frac{4}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 。

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{3}{7}$ 和 $u^{\frac{7}{3}}$ 。

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C)$

解题步骤 12.2

化简。

$\frac{63 u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - 13 \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - 13 (\frac{3}{7}) u^{\frac{7}{3}} + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $- 13$ 和 $\frac{3}{7}$ 。

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 13 \cdot 3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

解题步骤 14.2

将 $- 13$ 乘以 $3$ 。

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

解题步骤 14.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

解题步骤 15

使用 $x + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{63}{2} {(x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} {(x + 7)}^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} {(x + 7)}^{\frac{7}{3}} + C$

微积分学 示例

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