微积分学示例

$\int \frac{5 y - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

解题步骤 1

从 $5 y - 10$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 1.1

从 $5 y$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int \frac{5 (y) - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

解题步骤 1.2

从 $- 10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int \frac{5 y + 5 \cdot - 2}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

解题步骤 1.3

从 $5 y + 5 \cdot - 2$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int \frac{5 (y - 2)}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

解题步骤 2

使 $u = y^{2} - 4 y + 11$ 。然后使 $d u = (2 y - 4) d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = (y - 2) d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = y^{2} - 4 y + 11$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $y^{2} - 4 y + 11$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 4 y + 11]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $y^{2} - 4 y + 11$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$ 。

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 4 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 y - 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [11]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [11]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$2 y - 4 + \frac{d}{d y} [11]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $11$ 对于 $y$ 是常数，所以 $11$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$2 y - 4 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $2 y - 4$ 和 $0$ 相加。

$2 y - 4$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{5}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{5}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{5}{2 u} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{5}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{2}$ 移到积分外。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{5}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 6

化简。

$\frac{5}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 7

使用 $y^{2} - 4 y + 11$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{2} \ln (| y^{2} - 4 y + 11 |) + C$

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