微积分学示例

$\int \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{4}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{{(u_{1} + 1)}^{2}}{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 ${u_{1}}^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 ${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1}$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{- 4} d u_{1}$

解题步骤 3

使 $u_{2} = u_{1} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = u_{1} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $u_{1} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $u_{1} + 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 1)}^{- 4} d u_{2}$

解题步骤 4

使 $u_{3} = u_{2} - 1$ 。然后使 $d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{3} = u_{2} - 1$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $u_{2} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $u_{2} - 1$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

解题步骤 4.1.4

因为 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\int {(u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 ${(u_{3} + 1)}^{2}$ 重写为 $(u_{3} + 1) (u_{3} + 1)$ 。

$\int (u_{3} + 1) (u_{3} + 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\int (u_{3} (u_{3} + 1) + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.6

运用分配律。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.7

运用分配律。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.8

将 $u_{3}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.9

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.10

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{2 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.14

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\int {u_{3}}^{- 2} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.15

将 $u_{3}$ 乘以 $1$ 。

$\int {u_{3}}^{- 2} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.16

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.18

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.19

将 $u_{3}$ 乘以 $1$ 。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.20

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.22

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.23

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.24

将 ${u_{3}}^{- 4}$ 乘以 $1$ 。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 5.25

将 ${u_{3}}^{- 3}$ 和 ${u_{3}}^{- 3}$ 相加。

$\int {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 7

根据幂法则， ${u_{3}}^{- 2}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $- {u_{3}}^{- 1}$ 。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 \int {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{3}}^{- 3}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2}$ 。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 ${u_{3}}^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{{u_{3}}^{- 2}}{2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${u_{3}}^{- 2}$ 移动到分母。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

解题步骤 11

根据幂法则， ${u_{3}}^{- 4}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $- \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3}$ 。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

解题步骤 12.2

将 $- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$ 重写为 $- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$ 。

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

将 $\frac{1}{{u_{3}}^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{{u_{3}}^{3} \cdot 3} + C$

解题步骤 12.3.2

将 $3$ 移到 ${u_{3}}^{3}$ 的左侧。

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3 {u_{3}}^{3}} + C$

解题步骤 13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 13.1

使用 $u_{2} - 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- \frac{1}{u_{2} - 1} - \frac{1}{{(u_{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{2} - 1)}^{3}} + C$

解题步骤 13.2

使用 $u_{1} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{u_{1} + 1 - 1} - \frac{1}{{(u_{1} + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{1} + 1 - 1)}^{3}} + C$

解题步骤 13.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{x - 1 + 1 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{x + 0 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

解题步骤 14.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

解题步骤 14.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x + 0 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

解题步骤 14.4

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

解题步骤 14.5

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x + 0 - 1)}^{3}} + C$

解题步骤 14.6

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{3}} + C$

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