微积分学示例

$\int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$\int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

展开 $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.7

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 9

化简。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

微积分学 示例

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