微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

解题步骤 1

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} \sin (u) d u$

解题步骤 2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- \cos (u)]_{0}^{1}$

解题步骤 3

计算 $- \cos (u)$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \cos (1)) + \cos (0)$

解题步骤 4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \cos (1) + 1$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\cos (1)$ 。

$- 1 \cdot 0.5403023 + 1$

解题步骤 5.2

将 $- 1$ 乘以 $0.5403023$ 。

$- 0.5403023 + 1$

解题步骤 5.3

将 $- 0.5403023$ 和 $1$ 相加。

$0.45969769$

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