微积分学示例

$\int x \sin^{2} (x^{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\sin^{2} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 10

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 11

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

解题步骤 13

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

解题步骤 14

化简。

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

解题步骤 15.2

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

解题步骤 15.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 x^{2})) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

组合 $\sin (2 x^{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

解题步骤 16.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

解题步骤 16.4

乘以 $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2})$ 。

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解题步骤 16.4.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{\sin (2 x^{2})}{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 16.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{8} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \sin (2 x^{2}) + C$

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