微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{9 x - 1}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 9 x - 1$ 。然后使 $d u = 9 d x$ ，以便 $\frac{1}{9} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = 9 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $9 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [9 x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $9 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$9$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{9} d u$

解题步骤 2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ 乘以 $\frac{1}{9}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 9} d u$

解题步骤 2.2

将 $9$ 移到 $\sqrt[3]{u}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{9 \sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{9} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{9} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{9} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{9} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 重写为 $\frac{1}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$ 。

$\frac{1}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7

使用 $9 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{6} {(9 x - 1)}^{\frac{2}{3}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例