微积分学示例

$\int x^{3} \sqrt[3]{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {\sqrt{u - 4}}^{2} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简。

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解题步骤 2.1.1

将 ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ 重写为 $u - 4$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u - 4}$ 重写成 ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.1

约去公因数。

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.4.2

重写表达式。

$\int {(u - 4)}^{1} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.5

化简。

$\int (u - 4) \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt[3]{u}$ 。

$\int (u - 4) \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int (u - 4) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int u \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 3.2

组合 $u$ 和 $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ 。

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 3.3

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 3.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$\int \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 3.7

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 3.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ 。

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{- 4 u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $- 4 u^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{3}})}{2} d u$

解题步骤 4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{3}})}{2 (1)} d u$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{3}})}{2 \cdot 1} d u$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{- 2 u^{\frac{1}{3}}}{1} d u$

解题步骤 4.2.4

用 $- 2 u^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{4}{3}} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{4}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) + \int - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 8

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - 2 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - 2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ 重写为 $\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ 。

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{- 2 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.3.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{- 6}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.3.3

约去 $- 6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.3.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{2 (- 3)}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{- 3}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11

使用 $x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{14} {(x^{2} + 4)}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{4}{3}} + C$

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