微积分学示例

$\int \sqrt{x^{5} - 8} \cdot 5 x^{4} d x$

解题步骤 1

将 $5$ 移到 $\sqrt{x^{5} - 8}$ 的左侧。

$\int 5 \sqrt{x^{5} - 8} x^{4} d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{5} - 8$ 。然后使 $d u = 5 x^{4} d x$ ，以便 $\frac{1}{5 x^{4}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{5} - 8$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{5} - 8$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x^{5} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 x^{4} + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $5 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$5 x^{4}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} d u$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 5

使用 $x^{5} - 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{5} - 8)}^{\frac{3}{2}} + C$

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