微积分学示例

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1}) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}})$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int u_{1} (- \frac{u_{1} - 4}{(2 u_{1}) (u_{1} - 2)}) d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $u_{1}$ 和 $\frac{u_{1} - 4}{2 u_{1} (u_{1} - 2)}$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

解题步骤 3.2

约去 $u_{1}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - - \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + 1 \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

解题步骤 5.2

将 $\int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{u_{1} - 4}{u_{1} - 2} d u_{1}$

解题步骤 7

用 $u_{1} - 4$ 除以 $u_{1} - 2$ 。

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解题步骤 7.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u_{1}$

$2$

$u_{1}$

$4$

解题步骤 7.2

将被除数中的最高阶项 $u_{1}$ 除以除数中的最高阶项 $u_{1}$ 。

					$1$
	$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$

解题步骤 7.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			+	$u_{1}$	-	$2$

解题步骤 7.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u_{1} - 2$ 中的所有符号

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$

解题步骤 7.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$
					-	$2$

解题步骤 7.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1}$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

解题步骤 11

由于 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - (2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1}))$

解题步骤 12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1})$

解题步骤 13

使 $u_{2} = u_{1} - 2$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u_{2} = u_{1} - 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $u_{1} - 2$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

解题步骤 13.1.2

根据加法法则， $u_{1} - 2$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

解题步骤 13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

解题步骤 13.1.4

因为 $- 2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 13.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 13.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 14

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 (\ln (| u_{2} |) + C))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简。

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$

解题步骤 15.2

将 $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$ 重写为 $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 15.3

化简。

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解题步骤 15.3.1

要将 $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 15.3.2

组合 $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 15.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2 + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 15.3.4

将 $2$ 移到 $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ 的左侧。

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 16.2

使用 $u_{1} - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{1} - 2 |) + C$

解题步骤 16.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

运用分配律。

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 \cdot 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

解题步骤 17.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

解题步骤 17.3

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

解题步骤 17.4

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x - 1 |) + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$\frac{1}{2} (2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1) - \ln (| x - 1 |) + C$

微积分学 示例

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