微积分学示例

$\int 3 t^{2} {(2 t^{3} + 8)}^{- 1} d t$

解题步骤 1

使 $u = 2 t^{3} + 8$ 。然后使 $d u = 6 t^{2} d t$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = t^{2} d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 t^{3} + 8$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 t^{3} + 8$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t^{3} + 8]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 t^{3} + 8$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [8]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [8]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$6 t^{2} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $6 t^{2}$ 和 $0$ 相加。

$6 t^{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 3 u^{- 1} \frac{1}{6} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $3$ 。

$\int \frac{3}{6} u^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{3}{6}$ 和 $u^{- 1}$ 。

$\int \frac{3 u^{- 1}}{6} d u$

解题步骤 2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 1}$ 移动到分母。

$\int \frac{3}{6 u} d u$

解题步骤 2.4

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (1)}{6 u} d u$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $6 u$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (1)}{3 (2 u)} d u$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$\int \frac{3 \cdot 1}{3 (2 u)} d u$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 6

使用 $2 t^{3} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 t^{3} + 8 |) + C$

微积分学 示例

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