微积分学示例

$\int \frac{2}{3 \sqrt[3]{3 - 2 x}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

重写。

$\frac{- 2}{1}$

解题步骤 1.1.2

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 5.2

通过将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.3

将 ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 。

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- \frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2

将 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 重写为 $- \frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 。

$- \frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 8

使用 $3 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{2}{3}} + C$

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