微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

解题步骤 1

使 $u = 4 + r^{2}$ 。然后使 $d u = 2 r d r$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = r d r$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 + r^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d r}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 + r^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 + r^{2}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 。

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $4$ 对于 $r$ 是常数，所以 $4$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 r$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $2 r$ 相加。

$2 r$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 4 + r^{2}$ 中的 $r$ 。

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 4 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 5$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 4 + r^{2}$ 中的 $r$ 。

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 4 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{5}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{5}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{2}$ 移到积分外。

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

解题步骤 6

计算 $- u^{- 1}$ 在 $5$ 处和在 $5$ 处的值。

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

解题步骤 7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

解题步骤 8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

解题步骤 9

将 $- \frac{1}{5}$ 和 $\frac{1}{5}$ 相加。

$\frac{5}{2} \cdot 0$

解题步骤 10

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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