微积分学示例

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = \ln (x)$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{u_{1}}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将 $e^{u_{1}}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int u_{1} {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u_{1} e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

解题步骤 2.2.2

将 $- 1$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int u_{1} e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1 u_{1}$ 重写为 $- u_{1}$ 。

$\int u_{1} e^{- u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = u_{1}$ ， $d v = e^{- u_{1}}$ 。

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - \int - e^{u_{2}} d u_{1}$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$ 重写为 $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ 。

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$

解题步骤 5.2

将 $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ 重写为 $- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$ 。

$- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- u_{1} e^{u_{2}}$ 和 $e^{u_{2}} u_{1}$ 相加。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $e^{u_{2}}$ 和 $u_{1}$ 重新排序。

$- u_{1} e^{u_{2}} + u_{1} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 5.3.1.2

将 $- u_{1} e^{u_{2}}$ 和 $u_{1} e^{u_{2}}$ 相加。

$0 + C$

解题步骤 5.3.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$C$

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