微积分学示例

$\int (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) \sqrt{x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ 。然后使 $d u = (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 (2 x)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 4

使用 $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例