微积分学示例

$\int 2 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{7} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = e^{2 x} - 5$ 。然后使 $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ ，以便 $\frac{1}{2 e^{2 x}} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = e^{2 x} - 5$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $e^{2 x} - 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $e^{2 x} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3.5

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 e^{2 x} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2 e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$2 e^{2 x}$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int {u_{2}}^{7} d u_{2}$

解题步骤 2

根据幂法则， ${u_{2}}^{7}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}$ 。

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{8} + C$

解题步骤 3

使用 $e^{2 x} - 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{8} {(e^{2 x} - 5)}^{8} + C$

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