微积分学示例

$\int \frac{x^{9}}{1 + x^{20}} d x$

解题步骤 1

将 $x^{20}$ 重写为 ${(x^{10})}^{2}$ 。

$\int \frac{x^{9}}{1 + {(x^{10})}^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{10}$ 。然后使 $d u = 10 x^{9} d x$ ，以便 $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{10}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{10}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{10}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 10$ 。

$10 x^{9}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{10} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{10}$ 。

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 10} d u$

解题步骤 3.2

将 $10$ 移到 $1 + u^{2}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{10 (1 + u^{2})} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{10}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{10}$ 移到积分外。

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

解题步骤 6

$\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arctan (u) + C$ 。

$\frac{1}{10} (\arctan (u) + C)$

解题步骤 7

化简。

$\frac{1}{10} \arctan (u) + C$

解题步骤 8

使用 $x^{10}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{10} \arctan (x^{10}) + C$

微积分学 示例