微积分学示例

$\int x^{2} e^{- x} d x$

解题步骤 1

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

从 $- u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

解题步骤 2.2

对 $- (u)$ 运用乘积法则。

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

解题步骤 2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

解题步骤 2.4

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int - u^{2} e^{u} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u^{2} e^{u} d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u^{2}$ ， $dv = e^{u}$ 。

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

解题步骤 6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

解题步骤 7

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = e^{u}$ 。

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

解题步骤 9

将 $- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ 重写为 $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ 。

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

解题步骤 10

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 11.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 11.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 11.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

解题步骤 11.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$

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