微积分学示例

$\int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (e)$

解题步骤 1.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用对数规则把 $4$ 移到指数外部。

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

解题步骤 1.5.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.3.2

重写表达式。

$2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.4

计算指数。

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.2

一的任意次幂都为一。

$4 - 2 \cdot 1$

解题步骤 4.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$4 - 2$

解题步骤 4.3.4

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$2$

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