微积分学示例

$\int_{5}^{8} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 16}} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\int_{5}^{8} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4^{2}}} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4^{2}}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{4} arcsec (| \frac{x}{4} |)$

$\frac{1}{4} arcsec (| \frac{x}{4} |)]_{5}^{8}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $arcsec (| \frac{x}{4} |)$ 。

$\frac{arcsec (| \frac{x}{4} |)}{4}]_{5}^{8}$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{arcsec (| \frac{x}{4} |)}{4}$ 在 $8$ 处和在 $5$ 处的值。

$(\frac{arcsec (| \frac{8}{4} |)}{4}) - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

解题步骤 4.2.2

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

解题步骤 4.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

解题步骤 4.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{arcsec (| \frac{2}{1} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

解题步骤 4.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{arcsec (| 2 |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

解题步骤 4.3.2.2

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

解题步骤 4.3.2.3

$\frac{5}{4}$ 约为 $1.25$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{5}{4})}{4}$

解题步骤 4.3.2.4

计算 $arcsec (\frac{5}{4})$ 。

$\frac{\frac{π}{3} - 1 \cdot 0.6435011}{4}$

解题步骤 4.3.2.5

将 $- 1$ 乘以 $0.6435011$ 。

$\frac{\frac{π}{3} - 0.6435011}{4}$

解题步骤 4.3.3

从 $\frac{π}{3}$ 中减去 $0.6435011$ 。

$\frac{0.40369644}{4}$

解题步骤 4.3.4

用 $0.40369644$ 除以 $4$ 。

$0.10092411$

解题步骤 5

微积分学 示例

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