微积分学示例

$\int x^{2} \sqrt{1 + x} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 1 + x$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 1 + x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 3

使 $u_{2} = u_{1} - 1$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = u_{1} - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $u_{1} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $u_{1} - 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

使 $u_{3} = u_{2} + 1$ 。然后使 $d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{3} = u_{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $u_{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $u_{2} + 1$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 4.1.4

因为 $1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\int {(u_{3} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 ${(u_{3} - 1)}^{2}$ 重写为 $(u_{3} - 1) (u_{3} - 1)$ 。

$\int (u_{3} - 1) (u_{3} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\int (u_{3} (u_{3} - 1) - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.6

运用分配律。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.7

运用分配律。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.8

将 $u_{3}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.9

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.10

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.14

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.15

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.16

在公分母上合并分子。

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.17

化简分子。

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解题步骤 5.17.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.17.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.18

提取负因数。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.19

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.21

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.22

在公分母上合并分子。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.23

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.24

提取负因数。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.25

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.26

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.27

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.28

在公分母上合并分子。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.29

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.30

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.31

将 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.32

从 $- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 中减去 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5.33

将 $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 8

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9

由于 $- 2$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 10

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

解题步骤 11.2

化简。

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 11.3.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 11.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 12

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 12.1

使用 $u_{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{2}{7} {(u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 12.2

使用 $u_{1} - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2}{7} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 12.3

使用 $1 + x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2}{7} {(1 + x - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(1 + x - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(1 + x - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

微积分学 示例

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