微积分学示例

$\int \sqrt{2 x + 3} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x + 3$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 重写为 $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$

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