微积分学示例

$\int x e^{2 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{u}{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

组合 $\frac{u}{2}$ 和 $e^{u}$ 。

$\int \frac{u e^{u}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{u e^{u}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{u e^{u}}{2 \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{u e^{u}}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int u e^{u} d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = e^{u}$ 。

$\frac{1}{4} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{4} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{4} (u e^{u} - e^{u}) + C$

解题步骤 7

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 8.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 8.2.2

从 $2 x e^{2 x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 8.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 8.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{2} (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 8.3

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x}{2} e^{2 x} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

解题步骤 8.5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

微积分学 示例

微积分学示例