微积分学示例

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

解题步骤 1

使 $u = 1 + \cos (t)$ 。然后使 $d u = - \sin (t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + \cos (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + \cos (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 1.1.3

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$0 - \sin (t)$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $\sin (t)$ 。

$- \sin (t)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 5

将 $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6

使用 $1 + \cos (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$

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