微积分学示例

$\int \frac{3 (1 - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

解题步骤 2

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$3 \int 1 (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 3.2

将 $1 - u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 \int 1 - u^{2} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$3 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$3 (u + C + \int - u^{2} d u)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (u + C - \int u^{2} d u)$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$3 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

解题步骤 8

化简。

$3 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

解题步骤 9

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\tan^{3} (x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 (\tan (x) - \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$3 \tan (x) + 3 (- \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

解题步骤 10.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

将 $- \frac{\tan^{3} (x)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

解题步骤 10.3.3

重写表达式。

$3 \tan (x) - \tan^{3} (x) + C$

微积分学 示例

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