微积分学示例

$f (x) = | x | - 3 | x + 1 |$ , $[- 2, 2]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $| x | - 3 | x + 1 |$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$ 。

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$

解题步骤 1.1.1.2

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 | x + 1 |$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 1.1.1.3.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 1.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 1.1.1.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.1.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.1.3.7

将 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

解题步骤 1.1.1.3.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 。

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 3 (x + 1)}{| x + 1 |}$

解题步骤 1.1.1.3.9

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ 。

$\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $\frac{x}{| x |}$ 。

$- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = - \frac{x}{| x |}$

解题步骤 1.2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$| x + 1 |, | x |$

解题步骤 1.2.3.2

由于 $| x + 1 |, | x |$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $1, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 ${| x + 1 |}^{1}, {| x |}^{1}$ 的最小公倍数。

解题步骤 1.2.3.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 1.2.3.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.2.3.5

$1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 1.2.3.6

${| x + 1 |}^{1}$ 的因式是 $| x + 1 |$ 本身。

${| x + 1 |}^{1} = | x + 1 |$

$| x + 1 |$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.2.3.7

${| x |}^{1}$ 的因式是 $| x |$ 本身。

${| x |}^{1} = | x |$

$| x |$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.2.3.8

${| x + 1 |}^{1}, {| x |}^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$| x + 1 | | x |$

解题步骤 1.2.4

将 $- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = - \frac{x}{| x |}$ 中的每一项乘以 $| x + 1 | | x |$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = - \frac{x}{| x |}$ 中的每一项乘以 $| x + 1 | | x |$ 。

$- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} (| x + 1 | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

解题步骤 1.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $| x + 1 |$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

将 $- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 3 (x + 1)}{| x + 1 |} (| x + 1 | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

从 $| x + 1 | | x |$ 中分解出因数 $| x + 1 |$ 。

$\frac{- 3 (x + 1)}{| x + 1 |} (| x + 1 | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

约去公因数。

$\frac{- 3 (x + 1)}{| x + 1 |} (| x + 1 | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

重写表达式。

$- 3 (x + 1) | x | = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

解题步骤 1.2.4.2.2

运用分配律。

$(- 3 x - 3 \cdot 1) | x | = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

解题步骤 1.2.4.2.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$(- 3 x - 3) | x | = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

解题步骤 1.2.4.2.4

运用分配律。

$- 3 x | x | - 3 | x | = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

解题步骤 1.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.3.1

约去 $| x |$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.3.1.1

将 $- \frac{x}{| x |}$ 中前置负号移到分子中。

$- 3 x | x | - 3 | x | = \frac{- x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

解题步骤 1.2.4.3.1.2

从 $| x + 1 | | x |$ 中分解出因数 $| x |$ 。

$- 3 x | x | - 3 | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | x + 1 |)$

解题步骤 1.2.4.3.1.3

约去公因数。

$- 3 x | x | - 3 | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | x + 1 |)$

解题步骤 1.2.4.3.1.4

重写表达式。

$- 3 x | x | - 3 | x | = - x | x + 1 |$

解题步骤 1.2.5

求解方程。

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解题步骤 1.2.5.1

将方程重写为 $- x | x + 1 | = - 3 x | x | - 3 | x |$ 。

$- x | x + 1 | = - 3 x | x | - 3 | x |$

解题步骤 1.2.5.2

将 $- x | x + 1 | = - 3 x | x | - 3 | x |$ 中的每一项除以 $- x$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.2.1

将 $- x | x + 1 | = - 3 x | x | - 3 | x |$ 中的每一项都除以 $- x$ 。

$\frac{- x | x + 1 |}{- x} = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

解题步骤 1.2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x | x + 1 |}{x} = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x | x + 1 |}{x} = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2.2

用 $| x + 1 |$ 除以 $1$ 。

$| x + 1 | = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

解题步骤 1.2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1.1.1

约去公因数。

$| x + 1 | = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.1.2

重写表达式。

$| x + 1 | = \frac{- 3 | x |}{- 1} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.1.3

移动 $\frac{- 3 | x |}{- 1}$ 中分母的负号。

$| x + 1 | = - 1 \cdot (- 3 | x |) + \frac{- 3 | x |}{- x}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot (- 3 | x |)$ 重写为 $- (- 3 | x |)$ 。

$| x + 1 | = - (- 3 | x |) + \frac{- 3 | x |}{- x}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$| x + 1 | = 3 | x | + \frac{- 3 | x |}{- x}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.4

将两个负数相除得到一个正数。

$| x + 1 | = 3 | x | + \frac{3 | x |}{x}$

解题步骤 1.2.6

求解 $| x |$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将方程重写为 $3 | x | + \frac{3 | x |}{x} = | x + 1 |$ 。

$3 | x | + \frac{3 | x |}{x} = | x + 1 |$

解题步骤 1.2.6.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.6.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x, 1$

解题步骤 1.2.6.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 1.2.6.3

将 $3 | x | + \frac{3 | x |}{x} = | x + 1 |$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.6.3.1

将 $3 | x | + \frac{3 | x |}{x} = | x + 1 |$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$3 | x | x + \frac{3 | x |}{x} x = | x + 1 | x$

解题步骤 1.2.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.3.2.1.1

约去公因数。

$3 | x | x + \frac{3 | x |}{x} x = | x + 1 | x$

解题步骤 1.2.6.3.2.1.2

重写表达式。

$3 | x | x + 3 | x | = | x + 1 | x$

解题步骤 1.2.6.4

求解方程。

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解题步骤 1.2.6.4.1

从 $3 | x | x + 3 | x |$ 中分解出因数 $3 | x |$ 。

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解题步骤 1.2.6.4.1.1

从 $3 | x | x$ 中分解出因数 $3 | x |$ 。

$3 | x | x + 3 | x | = | x + 1 | x$

解题步骤 1.2.6.4.1.2

从 $3 | x |$ 中分解出因数 $3 | x |$ 。

$3 | x | x + 3 | x | \cdot 1 = | x + 1 | x$

解题步骤 1.2.6.4.1.3

从 $3 | x | x + 3 | x | \cdot 1$ 中分解出因数 $3 | x |$ 。

$3 | x | (x + 1) = | x + 1 | x$

解题步骤 1.2.6.4.2

将 $3 | x | (x + 1) = | x + 1 | x$ 中的每一项除以 $3 (x + 1)$ 并化简。

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解题步骤 1.2.6.4.2.1

将 $3 | x | (x + 1) = | x + 1 | x$ 中的每一项都除以 $3 (x + 1)$ 。

$\frac{3 | x | (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 1.2.6.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.4.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 | x | (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 1.2.6.4.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{| x | (x + 1)}{x + 1} = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 1.2.6.4.2.2.2

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.4.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{| x | (x + 1)}{x + 1} = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 1.2.6.4.2.2.2.2

用 $| x |$ 除以 $1$ 。

$| x | = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 1.2.7

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm (\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)})$

解题步骤 1.2.8

结果由 $\pm$ 的正数和负数部分组成。

$x = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

$x = - (\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)})$

解题步骤 1.2.9

求解 $x$ 的 $x = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$ 。

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解题步骤 1.2.9.1

求解 $| x + 1 |$ 。

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解题步骤 1.2.9.1.1

将方程重写为 $\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} = x$ 。

$\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} = x$

解题步骤 1.2.9.1.2

两边同时乘以 $3 (x + 1)$ 。

$\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} (3 (x + 1)) = x (3 (x + 1))$

解题步骤 1.2.9.1.3

化简。

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解题步骤 1.2.9.1.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.9.1.3.1.1

化简 $\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} (3 (x + 1))$ 。

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解题步骤 1.2.9.1.3.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} (x + 1) = x (3 (x + 1))$

解题步骤 1.2.9.1.3.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.1.3.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} (x + 1) = x (3 (x + 1))$

解题步骤 1.2.9.1.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{| x + 1 | x}{x + 1} (x + 1) = x (3 (x + 1))$

解题步骤 1.2.9.1.3.1.1.3

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.1.3.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{| x + 1 | x}{x + 1} (x + 1) = x (3 (x + 1))$

解题步骤 1.2.9.1.3.1.1.3.2

重写表达式。

$| x + 1 | x = x (3 (x + 1))$

解题步骤 1.2.9.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.9.1.3.2.1

化简 $x (3 (x + 1))$ 。

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解题步骤 1.2.9.1.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$| x + 1 | x = 3 x (x + 1)$

解题步骤 1.2.9.1.3.2.1.2

运用分配律。

$| x + 1 | x = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 1$

解题步骤 1.2.9.1.3.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.9.1.3.2.1.3.1

移动 $x$ 。

$| x + 1 | x = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1$

解题步骤 1.2.9.1.3.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$| x + 1 | x = 3 x^{2} + 3 x \cdot 1$

解题步骤 1.2.9.1.3.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$| x + 1 | x = 3 x^{2} + 3 x$

解题步骤 1.2.9.1.4

将 $| x + 1 | x = 3 x^{2} + 3 x$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.2.9.1.4.1

将 $| x + 1 | x = 3 x^{2} + 3 x$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{| x + 1 | x}{x} = \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.9.1.4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{| x + 1 | x}{x} = \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.2.1.2

用 $| x + 1 |$ 除以 $1$ 。

$| x + 1 | = \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.9.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$| x + 1 | = \frac{x (3 x)}{x} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$| x + 1 | = \frac{x (3 x)}{x^{1}} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$| x + 1 | = \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.1.2.3

约去公因数。

$| x + 1 | = \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.1.2.4

重写表达式。

$| x + 1 | = \frac{3 x}{1} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.1.2.5

用 $3 x$ 除以 $1$ 。

$| x + 1 | = 3 x + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.2.1

约去公因数。

$| x + 1 | = 3 x + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.2.9.1.4.3.1.2.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$| x + 1 | = 3 x + 3$

解题步骤 1.2.9.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x + 1 = \pm (3 x + 3)$

解题步骤 1.2.9.3

结果由 $\pm$ 的正数和负数部分组成。

$x + 1 = 3 x + 3$

$x + 1 = - (3 x + 3)$

解题步骤 1.2.9.4

求解 $x$ 的 $x + 1 = 3 x + 3$ 。

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解题步骤 1.2.9.4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.2.9.4.1.1

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$x + 1 - 3 x = 3$

解题步骤 1.2.9.4.1.2

从 $x$ 中减去 $3 x$ 。

$- 2 x + 1 = 3$

解题步骤 1.2.9.4.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.9.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 x = 3 - 1$

解题步骤 1.2.9.4.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$- 2 x = 2$

解题步骤 1.2.9.4.3

将 $- 2 x = 2$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.9.4.3.1

将 $- 2 x = 2$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

解题步骤 1.2.9.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.9.4.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

解题步骤 1.2.9.4.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{- 2}$

解题步骤 1.2.9.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.9.4.3.3.1

用 $2$ 除以 $- 2$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.9.5

合并解集。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.10

求 $\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ 的定义域。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $\frac{x}{| x |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x | = 0$

解题步骤 1.2.10.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.10.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.2.10.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.10.3

将 $\frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x + 1 | = 0$

解题步骤 1.2.10.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.10.4.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x + 1 = \pm 0$

解题步骤 1.2.10.4.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.10.4.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.10.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 1.2.11

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

解题步骤 1.2.12

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 1.2.12.1

检验区间 $x < - 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.12.1.1

选择区间 $x < - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.12.1.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 4}{| - 4 |} - \frac{3 ((- 4) + 1)}{| (- 4) + 1 |} = 0$

解题步骤 1.2.12.1.3

左边的 $2$ 不等于右边的 $0$ ，即给定的命题为假命题。

假

解题步骤 1.2.12.2

检验区间 $- 1 < x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.12.2.1

选择区间 $- 1 < x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 0.5$

解题步骤 1.2.12.2.2

使用原不等式中的 $- 0.5$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 0.5}{| - 0.5 |} - \frac{3 ((- 0.5) + 1)}{| (- 0.5) + 1 |} = 0$

解题步骤 1.2.12.2.3

左边的 $- 4$ 不等于右边的 $0$ ，即给定的命题为假命题。

假

解题步骤 1.2.12.3

检验区间 $x > 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.12.3.1

选择区间 $x > 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 1.2.12.3.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{2}{| 2 |} - \frac{3 ((2) + 1)}{| (2) + 1 |} = 0$

解题步骤 1.2.12.3.3

左边的 $- 2$ 不等于右边的 $0$ ，即给定的命题为假命题。

假

解题步骤 1.2.12.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 1$ 为假

$- 1 < x < 0$ 为假

$x > 0$ 为假

$x < - 1$ 为假

$- 1 < x < 0$ 为假

$x > 0$ 为假

解题步骤 1.2.13

因为没有任何数处于区间内，所以此不等式无解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{x}{| x |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x | = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3.3

将 $\frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x + 1 | = 0$

解题步骤 1.3.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x + 1 = \pm 0$

解题步骤 1.3.4.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.3.4.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.3.5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 1, x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $| x | - 3 | x + 1 |$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$| - 1 | - 3 | (- 1) + 1 |$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$1 - 3 | (- 1) + 1 |$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$1 - 3 | 0 |$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$1 - 3 \cdot 0$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$| 0 | - 3 | (0) + 1 |$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$0 - 3 | (0) + 1 |$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$0 - 3 | 1 |$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$0 - 3 \cdot 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 - 3$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$- 3$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(- 1, 1), (0, - 3)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$| - 2 | - 3 | (- 2) + 1 |$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$2 - 3 | (- 2) + 1 |$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$2 - 3 | - 1 |$

解题步骤 2.1.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$2 - 3 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$2 - 3$

解题步骤 2.1.2.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$| 2 | - 3 | (2) + 1 |$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$2 - 3 | (2) + 1 |$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 - 3 | 3 |$

解题步骤 2.2.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$2 - 3 \cdot 3$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$2 - 9$

解题步骤 2.2.2.2

从 $2$ 中减去 $9$ 。

$- 7$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 2, - 1), (2, - 7)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 1, 1)$

最小绝对值： $(2, - 7)$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例